Análisis de funciones

Question

Intenté diferenciar la función y poner el valor en =0 para encontrar x en términos de a y b. Luego, también intenté introducir el valor de x y poner el valor de y en 1 y 4. Al final, me costó mucho trabajo ya que se volvió más tedioso. Entonces, ¿alguien puede sugerir una forma más agradable de resolver esto? Gracias de antemano

Answer 1

CONSEJOS

La única forma de superar el tedio fue utilizando wolframio. Resolví el problema de la siguiente manera.

Tienes dos ecuaciones

$\quad f(x) = 4 \text{ and } f'(x) = 0$

en tres variables, $a$ , $b$ y $x$ .

Así que intente eliminar $a$ o $b$ y cuando lo hagas descubrirás que $b$ puede expresarse en términos de $a$ ,

$\tag 1 b = \frac{4 (2 a - 7)}{a - 4}$

Utilice Wolfram Paso 1 que resuelve $b$ .

Después de copiar y pegar, tienes dos ecuaciones,

$\quad f(x) = 1 \text{ and } f'(x) = 0$

en dos variables, $a$ y $x$ .

Aquí podrás elegir entre dos $a,x$ soluciones y sólo una funcionará.

Utilice Wolfram Paso 2 que resuelve $a$ y $x$ .

Answer 2

$$\text{max}\big\{f(x) \big\} = \frac{2a+b+\sqrt{32 + (b-2a)^2}}{4} \qquad \text{min}\big\{f(x) \big\} = \frac{2a+b-\sqrt{32 + (b-2a)^2}}{4}$$

Así que, o bien $a = 3$ y $b = 4$ o $a = 2$ y $b = 6$ .

Answer 3

He encontrado una solución un poco tediosa pero menos que otras.

La ecuación $f(x)=1$ es equivalente a: \begin{align*} ax^2 + 4x + b &= x^2 + 2 \\\iff (a-1)x^2 + 4x + (b-2) &= 0 \end{align*} Se trata de una ecuación cuadrática en $x$ . Si $f$ tiene un mínimo en $x$ también, entonces podemos asumir que la ecuación tiene una solución doble. Por lo tanto, el discriminante del polinomio cuadrático debe ser cero: \begin{align*} 0 &= 4^2 - 4(a-1)(b-2) = 4(2a+b + 2 - ab) \end{align*} De forma similar, la ecuación $f(x) = 4$ da \begin{align*} ax^2 + 4x + b &= 4(x^2 + 2) \\\iff (a-4)x^2 + 4x + (b-8) &= 0 \end{align*} Desde $4$ es el valor máximo, esperamos una solución doble, por lo que el discriminante también es cero: \begin{align*} 0 &= 4^2 - 4(a-4)(b-8) = 4(8a+4b - 28 - ab) \end{align*} Juntando todo esto, tenemos dos ecuaciones en las dos incógnitas $a$ y $b$ : \begin{align*} 2a+b - ab &= -2 \tag{1} \\ 8a + 4b - ab &=28 \tag{2} \end{align*} Restando ( $1$ ) de ( $2$ ) da $$ 6a+3b = 30 \implies 2a+b = 10 \tag{3} $$ Restando $4$ veces ( $1$ ) de ( $2$ ) da $$ 3ab = 36 \implies ab = 12 \tag{4} $$ Podemos sustituir ( $3$ ) en ( $4$ ) para obtener \begin{align*} a(10-2a) = 12 \implies a^2 - 5a + 6 = 0 \end{align*} Las soluciones son $a = 2$ (que da lugar a $b=6$ ) y $a=3$ (que da lugar a $b=4$ ).