$R/Ra$ es un módulo inyectivo sobre sí mismo

Question

Dejemos que $R$ sea un PID, $a\in R$ sea una no unidad no nula en $R$ . Demostrar que $R/Ra$ es un módulo inyectivo sobre sí mismo.

Si $R$ es un PID, cada $R$ - módulo divisible es inyectivo, pero la pregunta se refiere a $R/Ra$ -módulo, así que no tengo idea de cómo resolver este problema. Ayúdenme.

Answer 1

Usa el criterio de Baer: Los ideales en $R/aR$ corresponden a los divisores de $a$ así que tienes que mostrar lo siguiente:

Para cualquier $d \in R$ con $d|a$ cualquier $R/aR$ -homorfismo $f:dR/aR \to R/aR$ se extiende a un $R/aR$ -homorfismo $R/aR \to R/aR$ .

Un homomorfismo $f:dR/aR \to R/aR$ viene dada por la imagen de $d$ y como tenemos $\frac{a}{d}d=0$ en $dR/aR$ la imagen $f(d)$ también debe satisfacer $\frac{a}{d}f(d)=0$ , equivalente a $d|f(d)$ . Por lo tanto, podemos ampliar $f$ a $$R/aR \to R/aR ~,~ 1 \mapsto \frac{f(d)}{d}$$

También podría incluir esto en un contexto más general: Si $M$ es un inyectivo $R$ -Módulo y $I$ un ideal de $R$ entonces $$M[I] := \{m \in M | Im=0 \}$$ es un inyectivo $R/I$ -módulo (Esto es de una sola línea, sólo hay que escribir el diagrama de definición de un objeto inyectivo y hacer algunas tonterías abstractas).

En su entorno, sabemos que $Q(R)/R$ es un inyectivo $R$ -y por lo tanto $R/aR \cong (Q(R)/R)[aR]$ es un inyectivo $R/aR$ -(Los elementos de $Q(R)/R$ que son aniquilados por $a$ son precisamente abarcados por $\frac{1}{a}$ por lo que es isomorfo al módulo cíclico $R/aR$ ).