Conjetura de cálculo

Question

Cuando estaba en el último año de la escuela secundaria en 2001, mientras tomaba cálculo, hice la siguiente conjetura que resulta resistiva al ataque. Dice así: Por cada entero positivo $n$, hay exactamente $n$ ceros reales positivos de $$\frac {d^n}{dx^n}x^{1/x}$$ y no hay dos derivados que tenga una raíz común.

Algunas cosas a tener en cuenta son que no es difícil demostrar que $$\lim{x\rightarrow 0^+}\frac {d^n}{dx^n}x^{1/x}=\lim{x\rightarrow \infty}\frac {d^n}{dx^n}x^{1/x}=0$$ for all $n\geq 1$ and that $x^{1/x}$ is smooth and then to use these to show that the $n$th derivative has at least $n$ positive real zeroes. The proof of smoothness uses induction on $n$.