Una diferencia clara entre los axiomas de la topología y el álgebra sigma es la asimetría entre unión e intersección; es decir, la topología se cierra bajo intersecciones finitas y el álgebra sigma se cierra bajo uniones contables. Está muy claro matemáticamente pero ¿hay alguna manera de pensar; de modo que podamos definir una diferencia geométrica? En otras palabras quiero tener una idea intuitiva en la aplicación de estos objetos.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Me gustaría mencionar que en Un épsilon de habitación En la observación 1.1.3, Tao afirma:
La noción de espacio medible (X, S) (y de función medible) es superficialmente similar a la de espacio topológico (X, F) (y a la de función medible). función continua); la topología F contiene y X igual que el -álgebra S pero ahora está cerrada bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas, en lugar de uniones contables, intersecciones contables y complementos. Las dos categorías están vinculadas entre sí por la construcción del álgebra de Borel.
Más adelante, en el ejemplo 1.1.5:
dada cualquier colección F de conjuntos en X podemos definir la -álgebra B [ F ] generada por F definida como la intersección de todas las -que contienen F o, lo que es lo mismo, el álgebra más gruesa para para la que todos los conjuntos de F son medibles. (Esta intersección no es vacua, ya que siempre implicará la discreta -discreta 2^X). En particular los conjuntos abiertos F de un espacio topológico ( X, F ) generan una -álgebra, conocida como Borel -de Borel de ese espacio.
Erich Douglass
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Su pregunta es un poco vaga, pero aquí tiene algo que considerar: La topología suele tratarse como asignatura propia, mientras que $\sigma$ -suelen utilizarse como herramienta en la teoría de medidas. Una de las razones por las que se necesitan intersecciones finitas en una topología es que preserva lo que consideramos "apertura" en un espacio métrico. Por ejemplo, la intersección finita de cualquier intervalo de la forma $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ sigue teniendo la propiedad de contener una bola alrededor de cada punto. Esta propiedad no se comparte con $\sigma$ -álgebras. Por ejemplo, podemos considerar la intersección contable
$$ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \left(a - \frac{1}{n}, b+ \frac{1}{n} \right ) \;\; =\;\; [a,b] $$
que no conserva esta propiedad de "apertura" que nos gustaría que conservara una topología. Podemos ver que cada vecindad alrededor de cualquiera de los puntos $a$ o $b$ contienen elementos fuera del intervalo $[a,b]$ .
Tobias Bengtsson
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Una forma fácil de hacerse una idea es considerar ejemplos básicos.
Por ejemplo $X=\{1, 2, 3\}$ .
Un espacio topológico $(X, )$ podría construirse eligiendo, por ejemplo $=\{,\{1, 2\},\{2\},\{2,3\},X\}$ .
Pero esto está tan lejos de una $$-algebra as you can get since in fact no complement of any set in $$ está dentro excepto $X$ y $$.
Echa un vistazo a algunos ejemplos de topologías, algunos ejemplos de $$-álgebras e intenta compararlas. Empieza por lo fácil (como esto) y pasa a lo más difícil, así desarrollarás una intuición.
Zach Stone
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La geometría de $\sigma$ -es en general mal comprendida. Las pruebas que implican topologías a menudo trabajan directamente sobre la topología, demostrando que los conjuntos son abiertos directamente. La demostración de Arzela-Ascoli, por ejemplo, funciona en dos topologías y demuestra la convergencia directamente. Muchas pruebas empiezan con pick $U$ un barrio de $x$ . Trabajar con $\sigma$ -es algo más complicado. A menudo, el enfoque consiste en construir una secuencia de aproximaciones a la deseada $\sigma$ -álgebra. Incluso la definición del álgebra de Borel generada por algunos conjuntos $\mathfrak{B}$ es muy abstracto o se construye mediante aproximaciones. Es decir, la intersección de todos los $\sigma$ -que contienen $\mathfrak{B}$ o inducción transfinita sobre etapas de aproximaciones al álgebra de Borel completa.
ddalcero
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Sólo quería añadir un comentario notable sobre esto como yo estaba leyendo a través de un gran libro sobre la teoría de la probabilidad por Achim Klenke en p.8
Diferencias entre topologías y álgebra sigma
A diferencia de las -álgebras, las topologías son cerradas sólo bajo intersecciones finitas, es decir, por lo que se aplica la respuesta de la pregunta anterior como caso concreto. Además, las topologías también se cierran bajo uniones arbitrarias, mientras que las -álgebras no tienen por qué cerrarse bajo uniones arbitrarias, sólo bajo uniones contables.
Espero que esto aclare la cuestión
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La mejor manera de pensar en la diferencia es imaginar algunos ejemplos. El ejemplo canónico de una topología es la colección de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ mientras que el ejemplo canónico de $\sigma$ -es la colección de conjuntos medibles de Lebesgue en $\mathbb{R}$ .
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Otra diferencia clara es que el $\sigma$ -exige que el complemento de algún conjunto de las $\sigma$ -también está contenida. Una topología no exige que