Multiplicación de matrices en espejo

Question

La multiplicación matricial habitual se realiza de izquierda a derecha y de arriba a abajo. ¿Existe una aplicación o una teoría que haga la multiplicación de matrices de derecha a izquierda y de arriba a abajo?

EJEMPLO:

$\begin{bmatrix}0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{bmatrix} « \begin{bmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{bmatrix}$

Donde he utilizado el símbolo " para denotar que la multiplicación debe hacerse estrictamente de DERECHA a IZQUIERDA y de ARRIBA a ABAJO.

Para obtener el $a_{1,2} $ entrada del producto que haríamos $ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 $

En palabras,

(primera fila de la matriz a la derecha de ")×(segunda columna de la matriz a la izquierda de ") = (la entrada de la primera fila , segunda columna del producto)

Las demás entradas del producto se calculan de la misma manera. ¿Alguien ha estudiado esto? ¿Hay algún trabajo publicado?

Gracias por su consideración en este asunto.

Answer 1

No parece que haya nada aquí que no se pueda hacer con la multiplicación matricial de todos los días. Parece que podemos calcular $A«B$ de la siguiente manera:

1. flip $A$ Llama a la versión invertida $A_F$ . Lo mismo para $B_F$
2. Calcular $B_FA_F$
3. Coge el producto, dale la vuelta

Al final, "voltear" una matriz de derecha a izquierda es en sí una operación matricial. Es decir, dejemos que $K_n$ sea el $n\times n$ matriz dada por

$$ K_n = \pmatrix{ 0&\cdots&0&1\\ \vdots&&1&0\\ 0&& &\vdots\\ 1&0&\cdots &0 } $$

Ahora, supongamos que $A$ es $k \times m$ y $B$ es $n \times k$ . Entonces podemos calcular $$ A«B= (B K_k)(AK_m)K_m = BK_kA $$ No he oído hablar de ninguna aplicación para este conjunto de operaciones en particular.

Este análisis también revela dos formas diferentes de encontrar $A«B$ :

• flip $B$ de derecha a izquierda para obtener $B_F$ y calcular $A«B = B_F A$
• flip $A$ de arriba a abajo para obtener $A_F$ y calcular $A«B = B A_F$

Answer 2

No conozco ninguna aplicación o trabajo previo, pero su operación puede expresarse en términos de multiplicación matricial ordinaria, al menos en el $2\times2$ caso: $$A\,«\,B=BJA$$ donde $$J=\begin{bmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{bmatrix}\ .$$ Entonces es fácil demostrar que su operación es asociativa, distributiva sobre la suma, etc. Además, como $J$ es invertible, cualquier $2\times2$ se puede escribir en la forma $XJ$ y su definición se puede escribir $$(YJ)\,«\,(XJ)=XYJ\ .$$ Lo que se deduce es que la ecuación $$\phi(X)=XJ$$ define una biyección de $M_{2,2}$ sobre sí mismo (en lenguaje informal, es sólo un reetiquetado de los elementos, sin cambio esencial en las propiedades) que preserva la adición, $$\phi(X+Y)=\phi(X)+\phi(Y)\ ,$$ y convierte la multiplicación en su operación, con cambio de orden, $$\phi(XY)=\phi(Y)\,«\,\phi(X)\ .$$ A continuación, puede encontrar una identidad para su operación, y una inversa (cuando existe).

Independientemente de las aplicaciones, creo que este sería un muy buen proyecto para los estudiantes que se inician en el álgebra abstracta. ¡Gracias por llamarme la atención!