Pregunta de seguimiento: ¿ $ 1 + \rho /2 + \rho^2 /3 + 1/4 + \rho /5 + \rho^2 /6 +... $ con $\rho^3=1$ ¿converger?

Question

En la pregunta reciente se preguntó si $ 1 + 1/2 - 1 /3 + 1/4 + 1 /5 - 1 /6 +... $ converge y se respondió negativamente.

Sólo por curiosidad he mirado numéricamente la serie, donde los coeficientes son las potencias de una raíz unitaria compleja, así por ejemplo $\rho = \exp(2 \pi i /3)$ y la serie es $ 1 + \rho /2 + \rho^2 /3 + 1/4 + \rho /5 + \rho^2 /6 +... $ .

Hasta los 1000,2000,3000 términos parece converger, pero ¿acaso es fácil responder a esto en este caso concreto?

¿Qué pasa con el caso general en el que $u_x=\exp(2\pi i x)$ es cualquier número del círculo unitario complejo (o al menos un m'th raíz unitaria compleja (de orden entero o racional) $\rho_m=\exp(2 \pi i /m$ ) y la serie tiene el siguiente aspecto $$ s_x = {1 \over u_x}\sum_{k=0}^\infty {u_x^{1+k} \over 1+k}$$ o $$ s_m = {1 \over \rho_m}\sum_{k=0}^\infty {\rho_m^{1+k} \over 1+k}$$ ?

Answer 1

La serie converge si y sólo si $1+\rho+\rho^2=0$ es decir, para $\rho=\exp(\pm2\pi\mathrm i/3)$ . Puede demostrarlo agrupando los términos de tres en tres, descomponiendo los grupos en

$$ \frac1{3n-2}+\frac\rho{3n-1}+\frac{\rho^2}{3n}=\frac{1+\rho+\rho^2}{3n-1}+\frac{3n-(3n-2)\rho^2}{(3n-2)(3n-1)3n} $$

y observando que la serie del segundo término converge y la serie del primer término diverge si $1+\rho+\rho^2\ne0$ .

Edición en respuesta al cambio de la pregunta :

La serie $s_x$ converge para cualquier $u_x\ne1$ por Prueba de Dirichlet : El producto de una secuencia no creciente $a_n$ de números reales que converge a cero con una secuencia $b_n$ de números complejos con sumas parciales acotadas converge. En el presente caso podemos utilizar $a_n=\frac1n$ y $b_n=u_x^n$ , donde $b_n$ es una serie geométrica con sumas parciales acotadas conocidas si $u_x\ne1$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que como $\rho^3=1$ tenemos que la serie es $$\dfrac1{\rho} \left(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\rho^k}{k}\right) = -\dfrac1{\rho} \ln(1-\rho)$$