Cómo resolver un límite con una exponencial: $\lim_{x \to 0^+}e^{(-1/x)}\ln(1/x^2)$ ?

Question

Así que tengo este límite de $x$ que tiende a $0^+$ . De: $$ e^{(-1/x)}\ln(1/x^2) $$ Sé que puedo resolver esto utilizando la subsitución, sustituyendo así $1/x$ con $u$ Pero parece que no entiendo el concepto y, por tanto, el método para resolver el sistema.

También sé que puedo resolverlo utilizando la regla de L'Hospital, aunque pueda parecer más difícil, pero ¿podría hacer esto: podría convertir la función en una fracción y luego tomar la derivada del numerador y la derivada del denominador? ¿Podríais indicarme algunos pasos? Gracias.

Me sería muy, muy útil si pudieras mostrarme los dos tipos de formas de resolver este límite. (Si tuviera que elegir, preferiría algunos pasos relativos al uso de la regla de L'Hospital)

Answer 1

$$ e^{-1/x}\ln(1/x^2) $$ pero podría hacer esto: ¿podría convertir la función en una fracción y luego tomar la derivada del numerador y la derivada del denominador?

Claro y gracias a las leyes de los exponentes, se convierte fácilmente en una fracción: $$e^{-\frac{1}{x}}\ln\frac{1}{x^2}=\frac{\ln\frac{1}{x^2}}{e^{\frac{1}{x}}}$$

(Si tuviera que elegir, preferiría algunos pasos sobre el uso de la regla de L'Hospital)

Tanto el numerador como el denominador tienden ahora a $\infty$ para $x \to 0^+$ para que puedas aplicar la regla de l'Hôpital: $$\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln\frac{1}{x^2}}{e^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to 0^+}\frac{\left(\ln\frac{1}{x^2}\right)'}{\left(e^{\frac{1}{x}}\right)'}=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{-2}{x}}{-x^{-2}e^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to 0^+} \left( 2\,x\,e^{-\frac{1}{x}}\right)=\ldots$$