Imagina una larga barra flotante en el espacio. Qué fuerza hace que ejercen sobre sí misma en el medio debido a la gravedad?

Question

Problema

Si había una larga barra flotante en el espacio, ¿cuál sería la fuerza de compresión en el centro de la barra, debido al peso propio de los dos extremos?

Diagrama - ¿cuál es la fuerza en el punto X en el medio de la barra?:

<----------------------L--------------------->, total mass M
=======================X======================   <- the bar
                 F---> X <---F

Resumen

Usted debe ser capaz de simplificar por el corte de la barra en pedazos, sino que da una respuesta diferente dependiendo de cómo muchas de las piezas que usted utilice (ver más abajo). Por lo que la simplificación debe estar equivocado - pero ¿por qué?

Mi enfoque

Barra dividida en dos

Así, una aproximación sería cortar la barra en la mitad de dos piezas de longitud L/2, de masa M/2:

         (M/2)<-------L/2------->(M/2)
           #1          X           #2   <- bar approximated as blobs #1 and #2

La fuerza en X es G(M1.M2)/(R^2) = G (M/2)^2 / (L/2)^2 = G M^2 / L^2

O Fx / (G. M^2 / L^2) = 1

Pero es que realmente válido? Si es así, ¿no debería tener la misma respuesta en el caso de dividir la barra en cuatro piezas?

Barra dividida en cuatro

   (M/4)<-L/4->(M/4)<-L/4->(M/4)<-L/4->(M/4)
     #1          #2    X     #3          #4

Mi suposición es que la fuerza en X es la suma de las atracciones de cada nota a la izquierda de cada blob en la derecha.

La fuerza en X = #1<>#3 + #1<>#4 + #2<>#3 + #2<>#4

('<>' ser de la fuerza entre los blobs #x #y y).

Fx / (G. M^2 / L^2) = (2/4)^-2 + (3/4)^-2 + (1/4)^-2 + (2/4)^-2 = 1.61

Esto es más grande que el anterior resultado (1.61 vs 1).

Barra dividida en seis

Del mismo modo, si usted divide en 6 blobs, la fuerza total que sale como:

Fx / (G. M^2 / L^2) = (3/6)^-2+(4/6)^-2+(5/6)^-2 + (2/6)^-2+(3/6)^-2+(4/6)^-2 + (1/6)^-2+(2/6)^-2+(3/6)^-2

Fx / (G. M^2 / L^2) = 2.00

Entonces, ¿qué hay de malo con mi enfoque? Y ¿cuál es la verdadera respuesta?

Así que parece que las piezas más hemos dividido el bar a, el más grande, el resultado que obtiene. Claramente hay algo mal con mis suposiciones! - ¿pero qué?

Yo estaría muy contento si alguien de aquí podría explicar esto. Gracias!

EDITAR Como Peter Shor señaló, mis cálculos habían algunos chunga álgebra y yo había calculado $$L^2/M^2$$ values rather than $$M^2/L^2$$. Ahora he corregido - que el valor aumenta a medida que se dividen en más de masas.

Voy a hacer un poco más de trabajo con más divisiones y ver si esto conduce a la convergencia o no.

Answer 1

La razón por la que encontró más y más presión en el centro de la varilla como se corta en piezas más es que son esencialmente de la aproximación de una integral, pero la integral diverge ("infinity" coloquialmente). Cuando la varilla tiene espesor cero, pero todavía tiene masa, la densidad de la materia es infinita, y esto conduce a la infinitamente fuerte, las fuerzas gravitacionales.

Para responder a esta pregunta, vamos a imaginar que el cilindro tiene algunas pequeñas, radio finito $R$. Queremos encontrar la fuerza entre las dos mitades del cilindro. Vamos a dejar la mitad simplemente sentarse inmóvil en el espacio. Se creará un potencial gravitatoria. Luego nos vamos a tomar la otra mitad y tirar de él a cierta distancia $d$. La energía potencial gravitacional es una función de $d$. La fuerza entre las dos mitades del cilindro es la derivada de la energía potencial gravitatoria con respecto a $d$ al $d=0$.

El problema descrito anteriormente es demasiado duro. Es muy difícil calcular el potencial gravitacional de un cilindro en un punto arbitrario. El potencial gravitacional de una masa puntual es sólo $-Gm/r$, pero para un cilindro que se extiende en tres dimensiones, debemos substituir $m$ con la densidad de $\rho$ y, a continuación, integrar en la masa de todo el cilindro. La expresión para $r$, la distancia desde un punto arbitrario fuera del cilindro a un punto dentro de él, no es muy manejable.

Sin embargo, en un punto en el eje del cilindro, el potencial gravitacional es más accesible debido a la mayor simetría. Si establecemos las coordenadas cilíndricas con el eje del cilindro a lo largo del eje z, y, a continuación, integrar sobre la mitad inferior del cilindro, obtenemos

$V(z) = \int_{z'=0}^{-L/2}\int_{r=0}^{R}\int_{\theta=0}^{2\Pi} \frac{G\rho}{\sqrt{(z-z')^2+r^2}} r\textrm{d}\theta\textrm{d}r\textrm{d}z'$

y haciendo la integral de $\theta$ es

$V(z) = 2\pi G\rho\int_{z'=0}^{-L/2}\int_{r=0}^{R} \frac{1}{\sqrt{(z-z')^2+r^2}} r\textrm{d}r\textrm{d}z'$.

Esto nos permite hacer una aproximación. Aunque la mitad de los cilindros que usamos para calcular el potencial debe tener anchura finita, podemos calcular la energía potencial suponiendo que la otra mitad de la botella está perfectamente situado a lo largo del eje. Mientras el radio del cilindro es muy pequeña comparada con la longitud, ésta es una aproximación válida. Por lo tanto el potencial de la energía proviene de la integración de la expresión anterior para $V$ a lo largo de la $z$-eje de la longitud del cilindro.

Que en realidad no desea que la energía potencial, pero la derivada de la energía potencial. Así que imagina mover la parte superior hasta la mitad del cilindro hasta un poco $dz$, y preguntar cómo la energía potencial de los cambios.

Mover toda la mitad superior del cilindro por $dz$ es equivalente a tomar un pedazo de espesor $dz$ y de cortar la parte inferior y mueve a la parte superior. Así que realmente sólo tiene que encontrar la diferencia de potencial entre la parte superior e inferior de la mitad superior del cilindro y se multiplica por la masa por unidad de longitud del cilindro.

La fuerza entre las dos mitades del cilindro es $\frac{M}{L}[V(L/2) - V(0)]$

Que deja a las dos integrales a evaluar. $V(L/2)$ es fácil, porque está lejos de la mitad de los cilindros de proporcionar el potencial gravitacional (en comparación con $R$). Que nos permite aproximado

$V(L/2) = \frac{-GM}{L} \int_{-L/2}^0 \frac{1}{L/2-x}dx = -\frac{GM}{L}\ln 2$.

La integral de $V(0)$ es más complicado, por lo que se puso en Mathematica y consiguió

$V(0) = -\frac{GM}{L}\textrm{arcsinh}\left(\frac{L}{2R}\right)$.

En el régimen que está interesado en ($R$ pequeño en comparación con $L$) $\sinh(x)$ es sólo $e^x/2$, por lo que esto se simplifica a

$V(0) = -\frac{GM}{L} \ln\left(\frac{L}{R}\right)$

Esto le da una respuesta definitiva para la fuerza

$F = \frac{M^2G}{L^2}\ln\left(\frac{L}{2R}\right)$

Answer 2

Para una cosa, usted ha hecho un descuido de álgebra error.

Estás computing $(L/M)^2$ en lugar de $(M/L)^2$.

Answer 3

Como otras personas que respondieron, la fuerza es una cantidad vectorial, por lo que la fuerza neta en el centro es, de hecho, cero. Pero parece que lo que tienes en mente es en realidad la presión (estrés) en ese punto en particular.

En primer lugar, respecto a tu pregunta. Lo que se computing es $$ \sum_{\substack{i\in\text{first part}\\j\in\text{second part}}} \mathbf F_{ij} $$ la fuerza total que actúa sobre cada partícula en la primera parte, debido a la segunda parte. Esto no es equivalente a "la fuerza en X". Pero de todos modos, pero, ¿por qué usted consigue el infinito? Porque esta es la respuesta.

Si queremos calcular el campo gravitatorio debido a la 2ª parte ($\lambda=M/L$): $$ g(h) = G\lambda \int_0^{L/2} \frac{1}{(z+h)^2}dz = \frac{G\lambda L}{h(2h+L)}, $$ nos encontramos con que la fuerza de gravedad como las escalas de $\frac1h$. Ahora supongamos que usted se divide la primera parte en $N$ notas. La posición de la $i$-th blob más cercano a la centro de se $h_i=\frac{Li}{2N}$, su masa será $\frac{\lambda L}{2N}$, por lo que junto a la contribución de la fuerza de cada blob que se $F_i = m_ig(h_i) \sim \frac{1/N}{i/N} = \frac1i$, y el total de la fuerza es $\sim\sum_{i=1}^N\frac1i\sim\ln N$ que diverge de forma logarítmica a $\infty$.

Esto suena no físico, pero esto es debido a que el valor en sí es no físico - usted no puede tener una masa sin el "ancho" pero finita la masa, esto hace que la densidad infinita, y esto hace que la infinita fuerza ya que las dos partes están uno al lado del otro.

Así que vamos tiene sentido cuando la barra ha de tamaño. Así que supongamos que la barra es un cilindro de radio $\epsilon \to 0$. También suponga que la barra de densidad es $\rho = M/\pi\epsilon^2L$. El campo de gravedad a lo largo de la dirección z es entonces $$ g(h) = G\rho \int_0^{L/2} \int_0^{2\pi} \int_0^{\epsilon} \frac{h+z}{((h+z)^2+r^2)^{3/2}} rdrd\phi dz = G\rho\pi \left(2 \sqrt{h^2+\epsilon ^2}-\sqrt{(2 h+L)^2+4 \epsilon ^2}+L\right), $$ y la fuerza es ahora acotada arriba por una constante $G\rho\pi(2\epsilon+L-\sqrt{4\epsilon^2+L^2})$ variación $h$, y el total de la fuerza mediante la partición de la 1ª parte sería $\sim \sum_{i=1}^N\frac{\text{constant}}N = \text{constant}$ como se podría esperar. (Sin embargo, esta constante se van a divergir con $1/\epsilon$$\epsilon\to0$.)

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Pero el resultado anterior no tiene nada que ver con la presión. Precisamente en el centro, no hay ninguna fuerza, y la magnitud de la fuerza como las escalas de $r$ en su vecindad inmediata.

Vamos a marcar un cuadrado pequeño de la membrana de tamaño de $a\times a\times dz$ con masa despreciable $a^2\rho dz$ en la posición $z\to0$ por encima del centro de la barra para registrar la presión.

La membrana de la experiencia de una red de empuje desde arriba. Puesto que la membrana es pequeño, se podría suponer que se trata de una fuerza uniforme. El total de la fuerza que empuja la membrana hacia abajo es $$\begin{aligned} F &= a^2\rho dz g_{\text{total}}(z) \\ &= a^2\rho dz\cdot G\rho\pi \left(\sqrt{(L+2z)^2+4\epsilon^2}-\sqrt{(L-2z)^2+4\epsilon^2}\right) \\ &\sim \frac{4a^2z\rho dz\cdot G\rho L\pi }{\sqrt{L^2+4\epsilon^2}} \end{aligned}$$ y por lo tanto la presión es $$ dP = -\frac F{a^2} = -\frac{4zG\rho^2 L\pi dz }{\sqrt{L^2+4\epsilon^2}} \sim 4zdz \frac{GM^2}{L^2\epsilon^4} $$ $$ \implies P \sim -z^2 \frac{GM^2}{2L^2\epsilon^4} $$ tenga en cuenta que el $z$ todavía está aquí. Vemos que la presión es finito y máxima cuando la medimos con precisión en el centro (y disminuye alejado de ella). Pero esto desviará si dejamos $\epsilon\to0$.