Estoy interesado en estudiar el siguiente problema: \begin{align} \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x) \end{align} donde $\mu$ es una medida de probabilidad. Supongamos que $\mathcal{D}$ es cerrado, covexo y compacto (en topología débil^{*}).
Sabemos que si $f(x)$ es continua y acotada entonces $\mu \to \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$ es un funcional continuo y \begin{align} \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)&=\max_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x), \text{ this steps is due to contintinuity,}\\ &=\max_{\mu \in \text{Extrem Points of} \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x), \text{ this step is due to linearity of the functional,}\\ \end{align}
Mi pregunta: Ahora, asume que $f(x)$ es continua y positiva pero no está acotada por arriba. Por lo tanto, no podemos afirmar que $\mu \to \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$ es un funcional continuo.
Sin embargo, ¿podemos seguir diciendo que
\begin{align} \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)=\sup_{\mu \in \text{Extrem Points of} \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x), \end{align}
de la linealidad?
El ejemplo que tengo en mente es $f(x)=x^2$ .