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Función lineal maximizadora (no necesariamente continua) sobre un dominio compacto, cerrado y convexo

Estoy interesado en estudiar el siguiente problema: \begin{align} \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x) \end{align} donde $\mu$ es una medida de probabilidad. Supongamos que $\mathcal{D}$ es cerrado, covexo y compacto (en topología débil^{*}).

Sabemos que si $f(x)$ es continua y acotada entonces $\mu \to \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$ es un funcional continuo y \begin{align} \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)&=\max_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x), \text{ this steps is due to contintinuity,}\\ &=\max_{\mu \in \text{Extrem Points of} \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x), \text{ this step is due to linearity of the functional,}\\ \end{align}

Mi pregunta: Ahora, asume que $f(x)$ es continua y positiva pero no está acotada por arriba. Por lo tanto, no podemos afirmar que $\mu \to \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$ es un funcional continuo.

Sin embargo, ¿podemos seguir diciendo que

\begin{align} \sup_{\mu \in \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)=\sup_{\mu \in \text{Extrem Points of} \mathcal{D} } \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x), \end{align}

de la linealidad?

El ejemplo que tengo en mente es $f(x)=x^2$ .

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user18698 Puntos 21

La respuesta es sí. Llame a ${\mathcal E}$ el conjunto de puntos extremos de ${\mathcal D}$ . Es una consecuencia de Teorema de Choquet que para cada $\mu\in{\mathcal D}$ existe una medida de probabilidad $\nu=\nu_\mu$ en ${\mathcal E}$ tal que $\mu=\int_{\mathcal E}\rho d\nu(\rho)$ y en particular $$\int_{\mathbb R}f(x)d\mu(x)=\int_{\mathcal E}\left(\int_{\mathbb R}f(x)d\rho(x)\right)d\nu(\rho)\leq\sup_{\rho\in{\mathcal E}}\int_{\mathbb R}f(x)d\rho(x)$$

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