editar: gráfico más complicado fuente (problema de la página 21): http://press.princeton.edu/chapters/s7714.pdf
No he podido encontrar ningún recurso en línea que explique el proceso de despliegue de un gráfico en términos sencillos y la descripción del archivo pdf no ayuda en absoluto. Tomemos el ejemplo de arriba. Estoy confundido en cuanto a por qué los números de la posición que eran cambiaron en el "gráfico desplegado"
La idea es que un grafo sólo tiene la estructura de qué vértices están conectados a qué otros vértices. A menudo se dibujan asignando un punto a cada vértice y dibujando caminos entre todos los pares de vértices conectados por una arista.
Lo que tienes aquí son dos dibujos del mismo gráfico. Uno está muy enredado y el otro es muy ordenado. Por ejemplo, fíjate en el vértice etiquetado como $2$ . En ambas imágenes, hay un borde entre ésta y $1$ y $3$ y $11$ . Sin embargo, las posiciones relativas de $1$ y $3$ y $11$ se eligen de forma diferente para que no haya cruces en el segundo gráfico. Esta es la propiedad importante que une a los dos gráficos, y dice exactamente que representan el mismo gráfico Sólo que con diferentes incrustaciones.
Si quieres un modelo físico que no sea bastante (ya que las cuerdas no pueden pasar unas a través de otras), imagina que pasas una cuerda entre cada par de casillas conectadas por el movimiento de un caballo, y atas todas las cuerdas que se encuentran en una casilla. Obtendrías algo parecido a la imagen de la izquierda. Sin embargo, puedes imaginar que estas cuerdas se mueven de una forma más atractiva, como la de la derecha. Esto es básicamente lo que ocurre aquí.
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