¿Cómo sabemos si una determinada función puede ser representada como una potencia de la serie? Y una vez que hemos llegado con una potencia de serie de la representación, ¿cómo hace uno para averiguar su radio de convergencia ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Shawn Miller
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3875
A su pregunta acerca de la radio de convergencia, Wikipedia da una buena respuesta.
Judah Himango
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27365
Una función puede ser representada como una potencia de la serie si y sólo si es complejo diferenciable en un conjunto abierto. Esto se deduce de la forma general de la del teorema de Taylor para funciones complejas.
De ser real diferenciable, incluso infinitamente muchas veces no es suficiente, ya que la función de $e^{-1/x^2}$ sobre la línea real (igual a 0 a 0)$C^\infty$, pero no es igual a su poder de expansión de la serie ya que todos sus derivados en cero desaparecer. La razón es que el complexified versión de la función no está aún continua en el origen.
doekman
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Esta es una pregunta general, como uno puede crear todas las clases de potencia de la serie para diferentes funciones. (por ejemplo, series de Taylor, Laurent de la serie, la serie de Fourier).
Para dar el ejemplo evidente de la serie de Taylor: una serie representación de una función puede ser encontrado si la función es infinitamente diferenciable en el barrio de el punto dado.
Con todo el poder de la serie, usted tendrá que encontrar la relación de recursividad (fórmula de dar un mandato consecutivo desde el término actual) y, a continuación, utilizar el test del cociente de resolver para el valor de la variable de entrada que da un ratio de convergencia de 1.
