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Resolución de la SDE dXt=bdt+cXtdWt

Quiero resolver la SDE dXt=bdt+cXtdWt , X0=0 para b,cR . Empiezo reescribiendo esto como

dXt=(μ1+μ2Xt)dt+(σ1+σ2Xt)dWt

donde μ1=b,μ2=0,σ1=0,σ2=c . Y se sabe que la solución general para la SDE lineal es Xt=YtZt donde

dYt=μ2Ytdt+σ2YtdWt,Y0=1 dZt=μ1σ1σ2Ytdt+σ1YtdWt,Z0=X0=0

Así que dYt=cYtdWtYt=exp(c22t+cWt) y

dZt=bYtdt=bexp(c22tcWt)dt

Pero ahora estoy atascado ya que no estoy seguro de cómo encontrar Zt .

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user36150 Puntos 8

En realidad, ya no hay nada que hacer. Desde

dZt=bexp(c22tcWt)dt

se deduce que

Zt=Z00+bt0exp(c22scWs)ds.

Por lo tanto,

Xt=YtZt=bexp(c22t+cWt)t0exp(c22scWs)ds.

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