Equivalencia asintótica considerando la convergencia de la serie

Question

Me dan la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n-1}}{\left ( 2n^2+n+1 \right )^{\left (n+\frac{1}{2} \right )}}.$$ ¿Converge esta serie? En la solución se dice que hay que utilizar una prueba de comparación, aunque no se dice cuál. La que me parece más prometedora es la que dice que si para dos secuencias $a_n \sim b_n$ entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es equiconvergente con $\sum_{n=1}^\infty b_n$ . Esto requiere que encuentre la secuencia $b_n$ . Así que seguí adelante, hice algo de gimnasia y encontré $b_n = \left(\frac{1}{2n} \right)^n$ lo que significa que mi serie original sería convergente. Me pregunto si esto es válido, es decir, si he encontrado $b_n$ correctamente, o no. Nunca explicaron realmente el proceso de encontrar $b_n$ así que no estoy seguro de qué "transformación" se me permite hacer. Espero que alguien pueda confirmar mi solución, si es correcta, o si no lo es, proporcionar una respuesta que utilice una de las pruebas de comparación para determinar la convergencia de esta serie. No he probado otros métodos, ya que la comparación de secuencias es una forma esperada de resolverlo, pero creo que también se podría hacer utilizando el test de raíces.

Para completar, aquí está mi trabajo para encontrar $b_n$ . El razonamiento que utilicé es que puedo eliminar los términos de menor exponente en todas partes, y eso seguiría preservando la equivalencia asintótica. De nuevo, no estoy seguro de que esto sea cierto, ya que nunca se explicó adecuadamente durante el curso. Simplemente creo que así es como funciona el proceso. También grafiqué ambas series en Desmos y parecía que empezaban a encontrarse en algún punto del eje x y luego continuaban convergiendo hacia $0$ juntos. De todos modos, esto es lo que hice:

$$a_n = \frac{n^{n-1}}{\left ( 2n^2+n+1 \right )^{\left (n+\frac{1}{n} \right )}} \sim \frac{n^{n}}{\left ( 2n^2+n+1 \right )^n} \sim \frac{n^{n}}{( 2n^2)^n} \sim \frac{n^{n}}{ 2^n n^{2n}} \sim \frac{1}{ 2^n n^n} \sim \frac{1}{(2n)^n} = b_n. $$

Tal vez esta solución sea correcta. Aún así, agradecería mucho que alguien escribiera una respuesta explicando de qué manera puedo manipular la serie original para conservar la relación de equivalencia asintótica. No tengo ni idea de si lo que he hecho es correcto, o por qué es correcto si lo es, o por qué no lo sería si no lo es.

Answer 1

$$\frac{n^{n-1}}{\left ( 2n^2+n+1 \right )^{\left (n+\frac{1}{n} \right )}}=\frac1{n\sqrt[n]{2n^2+n+1}}\cdot\left(\frac n{2n^2+n+1}\right)^n$$

Obsérvese que ambos factores tienen como límite el cero, por tanto:

$$\frac1{n\sqrt[n]{2n^2+n+1}}\cdot\left(\frac n{2n^2+n+1}\right)^n\le\left(\frac n{2n^2+n+1}\right)^n\le \left(\frac12\right)^n$$

y la prueba de comparación nos da la respuesta.

Answer 2

Con la ayuda de Gary creo que tengo la respuesta que él dice que debería haber obtenido. No estoy seguro de si mi anotación es correcta por lo que lo estoy publicando aquí para su revisión .

$$a_n = \frac{n^{n-1}}{\left (2n^2+n+1 \right)^{\left( n + \frac{1}{2}\right)}} = \frac{n^n}{\left (2n^2+n+1 \right)^{n}}\cdot\frac{1}{n\sqrt{2n^2+n+1}} =\\= \frac{n^n}{ 2^n\cdot n^{2n}\left(1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n^2} \right)^{\frac{2n^2}{n+1} \frac{n+1}{2n}}}\cdot\frac{1}{n\sqrt{2n^2+n+1}} \sim \\ \sim \frac{e^{-\frac{n+1}{2n}}}{2^n\cdot n^{n+1} \cdot \sqrt{2}n\sqrt{1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n^2}}} \sim \frac{e^{-\frac{1}{2}}}{2^{n+\frac{1}{2}}\cdot n^{n+2}} = \frac{1}{\sqrt{2e}}\cdot\frac{1}{2^{n}\cdot n^{n+2}}$$

Al escribir esto parece que hubo un error en mi pregunta. Es decir, debería haber un $\frac{1}{2}$ en el exponente del denominador en lugar de $\frac{1}{n}$ . La derivación anterior supone la versión corregida y la pregunta está editada ahora.

Answer 3

La prueba de proporción funciona bien $$a_n= \frac{n^{n-1}}{\left ( 2n^2+n+1 \right )^{\left (n+\frac{1}{2} \right )}}$$ Tomar logaritmos $$\log(a_n)=(n-1)\log(n)-\left (n+\frac{1}{2} \right)\log\left ( 2n^2+n+1 \right)$$ Utilizando Taylor para valores grandes de $n$ $$\log(a_n)=n \log \left(\frac{1}{2 n}\right)+\frac{1}{2} \left(\log \left(\frac{1}{2 n^4}\right)-1\right)-\frac{5}{8 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ Aplícalo dos veces y continúa con la serie Taylor $$\log(a_{n+1})-\log(a_n)=\left(\log \left(\frac{1}{2 n}\right)-1\right)-\frac{5}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{\log(a_{n+1})-\log(a_n)}=\frac{1}{2 e n} \left(1-\frac{5}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right)$$ Ahora, utilizando la expansión de $\log(a_n)$ a $O\left(\frac{1}{n}\right)$ tenemos entonces su fórmula $$a_n \sim \frac{1}{\sqrt{2e}}\,\frac{1}{2^{n}\, n^{n+2}}$$ que es una sobreestimación de la verdadera $a_n$ .

Answer 4

Una alternativa para mostrar la convergencia de la serie dada:

Dejemos que $x_n=\frac{n^{n-1}}{\left ( 2n^2+n+1 \right )^{\left (n+\frac{1}{2} \right )}}$

$x_n^{\frac 1n}=\frac {n}{n^\frac 1n (2n^2+n+1) (2n^2+n+1)^\frac 1{2n}}\leq \frac {n}{n^\frac 1n (2n^2+n+1)}\implies \limsup x_n^\frac 1n=0<1$ y, por lo tanto, el resultado se desprende de la prueba de la raíz.