Integración de una gaussiana sobre un cilindro

Question

Considera que tengo cierta altura $r$ sobre un cilindro (medido desde el centro) que tiene su eje en la dirección de $z$ . Deseo integrar una gaussiana 2D (de SD $\sigma$ ) a lo largo de alguna parte de su longitud y tienen la siguiente integral doble: $$\int_0^{2\pi} \int_0^L \exp\left[-(a^2 + r^2 + z^2 - 2ar\cos\phi)/2\sigma^2\right] \mathrm{d}z\, \mathrm{d}\phi,$$ donde $a$ es el radio del cilindro. Entonces puedo reordenar esto para formar $$\int_0^{2\pi} \exp \left[ -(a^2 + r^2 - 2ar\cos\phi) / 2\sigma^2 \right] \mathrm{d}\phi \int_0^L \exp \left[ -z^2 / 2\sigma^2 \right] \mathrm{d}z.$$ La segunda integral da $$\DeclareMathOperator{\erf}{erf} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \sigma \erf \left( \frac{L}{\sqrt{2} \sigma} \right),$$ pero no veo ninguna forma de hacer la primera integral. Wolfram|Alpha también parece estar de acuerdo . ¿Me he perdido algún truco, o realmente no se puede hacer esto con las funciones estándar? ¿Es posible que se pueda encontrar una solución si parametrizo mi problema de otra manera?

Answer 1

Utilice el hecho de que

$$\int_0^{2 \pi} d\phi \, e^{x \cos{\phi}} = 2 \pi I_0(x)$$

donde $I_0$ es la función de Bessel modificada del primer tipo de orden cero.