Una condición necesaria y suficiente para la ergodicidad

Question

Dejemos que $(X,\mathcal B,\mu)$ sea un espacio de probabilidad y $T\colon X\rightarrow X$ sea preservador de la medida. Necesito demostrar que $T$ es ergódica si y sólo si se cumple la siguiente propiedad:

Si $f\colon X\rightarrow\Bbb R$ es medible y satisface $f(T(x))\geqslant f(x)$ casi en todas partes, entonces $f$ es constante en casi todas partes.

Answer 1

Definición: El conjunto $A\in\mathcal B$ es invariante si $T^{-1}(A)=A$ .

Definición: $T\colon X\to X$ es ergódico si la medida de cada conjunto invariante es $0$ o $1$ .

Definición: El conjunto $A\in\mathcal B$ es casi invariante si $\mu(T^{-1}( A ) \Delta A)=0$ .

Tenemos el siguiente resultado (ver Teoría ergódica con vistas a la teoría de los números por Eiseidler y Ward, GTM.

Propuesta: Si $T$ es ergódico y $A$ es casi invariable entonces $\mu(A)\in\{0;1\}$ .

Una dirección es bastante fácil: suponer que para todos los $f$ satisfactorio y medible $f(Tx)\geqslant f(x)$ casi en todas partes tenemos que $f$ es constante en casi todas partes. Toma $A$ tal que $T^{-1}(A)=A$ . Con $f:=\chi_A$ obtenemos lo que queremos.

A la inversa, supongamos que $T$ ergódica. Para cada número real $R$ , defina $$S_R:=\{x,\sup_{n\geqslant 1}f(T^nx)\leqslant R\}.$$ Cada $S_R$ es casi invariable, por lo que $\mu(S_R)\in\{0,1\}$ para cada $R$ . Definir $R_0:=\inf\{R>0,\mu(S_R)=1\}$ . Entonces $f=R_0$ casi en todas partes.