¿La convergencia puntual de series de funciones implica la convergencia uniforme?

Question

En mi clase de Análisis Real, surgió una pregunta, pero no se me ocurre una prueba o refutación. Esta es la conjetura:

Si $\sum f_n \rightarrow f$ en punto a $(a, b) \subseteq \mathbb{R}$ entonces $\sum f_n \rightarrow f$ converge uniformemente en $[c, d] \subseteq (a, b)$ .

Estoy convencido de que la divergencia puede producirse en los puntos finales y tener $[c, d]$ nos da un mejor intervalo para trabajar al deshacernos del cosas malas . Para ser más específicos, ya que $\sum f_n \rightarrow f$ en punto, la serie de números $\sum f_n(x)$ converge $\forall x \in (a, b) \implies f_n(x) \rightarrow 0$ . Pero, no podemos llegar a una secuencia de números $(x_n)$ donde cada $x_n \in [c, d]$ tal que $f_n(x_n) \nrightarrow 0$ desde que nos deshicimos de nuestros puntos finales.

¿Es válida mi conjetura? En caso afirmativo, ¿cómo podría demostrar o refutar mi conjetura?

Answer 1

Dejemos que $a=-1, b=1, c=-\frac 1 2, d=\frac 1 2$ . Dejemos que $g_n(x)=n|x|$ para $|x| \leq \frac 1 n$ y $1$ para $|x| > \frac 1 n$ . Dejemos que $g(x)=1$ para $x \neq 0$ y $g(0)=0$ . Entonces $g_n \to g$ en punto a $(a,b)$ pero no de manera uniforme en $[c,d]$ . Ahora toma $f_1=g_1, f_2=g_2-g_1,f_3=g_3-g_2,...$ .

Answer 2

Un contraejemplo es la serie con sumas parciales

$$S_n(x) = xe^{-x^2}+\sum_{k=1}^{n-1} \left[(k+1)x e^{-(k+1)^2 x^2} - kxe^{-k^2x^2}\right] = nxe^{-n^2x^2},$$

donde $S_n(x) \to S(x) =0$ como $n \to \infty$ para todos los puntos $x \in \mathbb{R}$ . Sin embargo, la convergencia no es uniforme en $[0,1]$ desde $|S_n(1/n) - S(1/n)| = e^{-1} \not \to 0$ .

Answer 3

Como el contraejemplo ya está dado (por Kavi), me gustaría comentar sobre la convergencia puntual y la convergencia uniforme.

En primer lugar, recuerda que una serie no es más que una sucesión (de sumas parciales) y que una sucesión se puede escribirse como una serie, como muestra la respuesta de Kavi. Por lo tanto, hablaremos sólo de secuencias.

La convergencia puntual significa: para cada individual $x$ la secuencia $f_n(x)$ converge. Esto significa que una vez que hayas elegido $x$ se puede saber si la secuencia $f_n(x)$ está cerca a su límite. Diferentes $x$ pueden converger a ritmos diferentes (me refiero a sus respectivas secuencias $(f_n(x))_n$ ). No se puede saber si la secuencia de funciones $(f_n)_n$ se acerca a la función función límite (puntual). En eso consiste la noción de límite uniforme es para...

Convergencia uniforme significa: Ahora puedes saber si toda la secuencia de funciones $(f_n)_n$ es cerca de la función límite (puntual). Con esto me refiero a la comparación de sus gráficos. En algunos $N\in\mathbb{N}$ en, el gráfico de $f_n$ está muy cerca de la gráfica de su límite para $n\geq N$ .