Teorema de Luroth

Question

Acabo de empezar a leer el libro de Shafarevich Geometría algebraica básica . En la primera sección del primer capítulo, cita el teorema de Lüroth, que afirma que cualquier subcampo de $k(x)$ que no es sólo $k$ es isomorfo a $k(x)$ es decir, se genera como un campo sobre $k$ por una única función racional de $x$ . He tratado de encontrar una prueba. Estoy atascado, y agradecería cualquier pista para completar el argumento. (He consultado Wikipedia, Wolfram Mathworld y esta pregunta de MathOverflow pero hasta ahora no he podido satisfacerme).

Hasta ahora he pensado en dos enfoques. Mi pregunta se respondería con una sugerencia sobre cómo completar cualquiera de estas ideas. Aquí están:

Dejemos que $k\subset L \subset k(x)$ sea un campo intermedio no igual a $k$ .

Enfoque #1: Cualquier elemento de $k(x)$ no en $k$ es trascendental sobre $k$ mientras tanto, $k(x)$ tiene grado de trascendencia 1 sobre $k$ se deduce que $L$ tiene grado de trascendencia 1 sobre $k$ . Así, $k(x)$ es algebraico sobre $L$ .

Dejemos que $p(t)$ sea el polinomio mínimo de $x$ en $L$ .

$$p(t)=t^n+l_1t^{n-1}+\dots+l_n$$

donde $l_1,\dots,l_n\in L$ (y por tanto son funciones racionales de $x$ ). Ahora bien, si el teorema es realmente cierto, $L=k(f)$ para algunos $f\in k(x)$ y $f=r/s$ con $r,s\in k[x]$ . Entonces $p(t)=r(t)-fs(t)$ . Este es el grado $n=\max(\deg r,\deg s)$ en $t$ . Cualquier coeficiente de cualquier potencia de $t$ en $p(t)$ es en realidad o bien en $k$ (si este poder de $t$ no aparece en $s$ ), o bien es una función lineal de $f$ y por lo tanto un generador de campo para $L$ y el grado $n$ como una función racional de $x$ . Así, espero poder demostrar que, con $p(t)$ definido como arriba, en realidad cualquiera de los coeficientes $l_1,\dots,l_n$ no contenida en $k$ es decir, cualquiera de ellos (digamos $l_i$ ) que es una función no constante de $x$ es el grado $n$ en función de $x$ y por lo tanto es un generador de campo para $L$ . (Bastaría con demostrar que es el grado $n$ en función de $x$ porque entonces $k(x)\supset L \supset k(l_i)$ pero $[k(x):L]=[k(x):k(l_i)]=n$ .) Una fuente de Internet que he encontrado sugiere que este es el enfoque correcto, pero no puedo completarlo. Esto es lo que tengo:

$p(t)$ es divisible por $t-x$ en $k(x)$ (ya que $x$ es una raíz), y sobre $k(l_1,\dots,l_n)$ es irreducible (ya que este campo está contenido en $L$ ). No veo que haya nada más que sepa con seguridad. Debe ser que la irreductibilidad sobre $k(l_1,\dots,l_n)$ implica que $l_1,\dots,l_n$ son todos de grado $n$ o bien en $k$ pero no he descubierto cómo. De los ejemplos que he elaborado (en los que elegí $l_1,\dots,l_n$ de forma semi-arbitraria para cumplir $(t-x)\mid p(t)$ ), esto parece ser cierto; si hago que alguno de ellos sea diferente en grado de $0$ o $n$ , entonces normalmente también puedo conseguir $x$ como una función racional de ellos, por lo que en estos ejemplos $k(l_1,\dots,l_n)=k(x)$ y $p(t)$ es divisible por $t-x$ en $k(l_1,\dots,l_n)$ . Por supuesto, asumo que también puede ocurrir que elija $l_1,\dots,l_n$ para que $k(l_1,\dots,l_n)\neq k(x)$ pero $p(x)$ seguirá siendo un factor sobre $k(l_1,\dots,l_n)$ siempre y cuando alguno de los $l_i$ no en $k$ difieren en grado de $n$ . En cualquier caso, todos los cálculos han sido ad hoc y hasta ahora no he visto una razón para lo que está sucediendo. Así que cualquier pista aquí sería apreciada.

Enfoque #2: Porque el teorema me recuerda el resultado que $k[x]$ es un p.i.d., tampoco he podido evitar el siguiente pensamiento: dejemos $f\in L$ sea un elemento de $L$ de grado mínimo en función de $x$ y supongamos que hay algún otro elemento $g\in L$ no en $k(f)$ . ¿Puedo construir algún elemento de $L$ utilizando $f$ y $g$ (es decir, un elemento de $k(f,g)$ ) que contradice $f$ ¿la minimidad en el grado? No he pensado tanto en este enfoque como en el anterior, pero de nuevo, hasta ahora no he visto cómo llevar a cabo la construcción. El truco del algoritmo euclidiano que demuestra $k[x]$ es un p.i.d. no está disponible aquí porque no puedo multiplicar $f$ o $g$ por cualquier cosa que no sea una función racional de uno u otro de ellos. (En particular, no veo cómo pasar a un anillo de polinomios en $x$ pero asegúrate de que me he quedado dentro $k(f,g)$ .) $g$ tiene un polinomio mínimo sobre $k(f)$ y si $g\notin k(f)$ entonces su grado es $>1$ por lo que podría ser un punto de partida para intentar construir el elemento de grado inferior de $k(f,g)$ Pero, de nuevo, no he visto cómo hacer que esto funcione. Así que aquí, de nuevo, agradecería cualquier pensamiento que pueda ser utilizado para completar el argumento.

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que el enfoque sugerido por Bergman (de su folleto en posdata ) sigue la línea de su primer enfoque, aunque quizá esté organizado de forma un poco diferente.

(Para los que no tengan un lector de Postscript)

Preliminares:

Cada elemento de $k(x)[t]$ puede escribirse como $$\frac{P(x,t)}{Q(x)}$$ donde $P(x,t)$ y $Q(x)$ son relativamente primos en la UFD $k(x)[t]$ y $Q$ es mónico en $x$ .

Dada esta expresión para un elemento de $k(x)[t]$ definir su altura para ser el máximo del grado de $P$ en $x$ y el grado de $Q$ en $x$ . Esto también se aplica a los elementos de $k(x)$ .

• Si $u=P(x,t)/Q(x)$ es mónico en $t$ (visto como un elemento de $k(x)[t]$ entonces la altura de $u$ es igual al grado de $P$ y $P$ no es divisible por ningún elemento no unitario de $k[x]$ .

• Si $f,g\in k(x)[t]$ son ambos mónicos como polinomios en $t$ entonces $\mathrm{height}(fg) = \mathrm{height}(f)+\mathrm{height}(g)$ .

• Si $u\in k(x)$ , $u\notin k$ entonces existe $u'\in k(x)$ , de tal manera que $\mathrm{height}(u')=\mathrm{height}(u)$ con $k(u)=k(u')$ y de tal manera que cuando escribimos $u'=P'(t)/Q'(t)$ , $P'$ y $Q'$ coprima, tendremos $\deg(P')\gt \deg(Q')$ y ambos son mónicos. De hecho, $u'$ puede tomarse de la forma $\alpha u$ o $\alpha/(u-\beta)$ , $\alpha,\beta\in k$ .

• Si $u\in k(x)-k$ , $u=P(x)/Q(x)$ entonces $x$ es una raíz de $P(t)-uQ(t)\in k(u)[t]$ . Si $\deg_x(P)\gt \deg_x(Q)$ y $P$ es mónico, entonces el polinomio $P(t)-uQ(t)$ es mónico.

Argumento.

Dejemos que $L$ , $k\subseteq L\subseteq k(x)$ , y elegir $u\in L-k$ , $u=P(x)/Q(x)$ que minimiza la altura; sea $\mathrm{height}(u)=n$ .

• Mostrar $P(t)-uQ(t)$ es irreducible sobre $L$ o divisible por un elemento no unitario de $k[t]$ en $L[t]$ .

• Demuestre que si $P(t)-uQ(t)$ es divisible por un elemento no unitario de $k[t]$ en $L[t]$ entonces el elemento divide ambos $P(t)$ y $Q(t)$ .

• Concluir que $P(t)-uQ(t)$ es el polinomio mínimo de $u$ en $L$ .

• Demostrar que $P(t)-uQ(t)$ es el polinomio mínimo de $x$ en $k(u)\subseteq L$ y concluir que $L=k(u)$ .

Answer 2

Dado que se trata claramente de un resultado técnico difícil, podría ser interesante saber por qué deberíamos preocuparnos por ello.

La interpretación geométrica es que si $f: \mathbb P^1_k\to X$ es cualquier morfismo no constante de la línea proyectiva a cualquier curva algebraica completa no singular sobre $k$ entonces $X$ es en realidad otra copia de la línea proyectiva, $X=\mathbb P^1_k$ y $f$ es una función racional.

En $\mathbb C$ el resultado análogo para las superficies de Riemann es cierto y puede demostrarse como sigue:
Podemos levantar $f$ a la cubierta universal de $X$ (porque $\mathbb P^1(\mathbb C)$ es simplemente conectada) y obtener un mapa holomorfo $\tilde f:\mathbb P^1(\mathbb C) \to \tilde X$ .
Pero si $X$ tenía el género $g\gt 0$ su cubierta universal $\tilde X$ sería un disco o $\mathbb C$ (según el difícil teorema de uniformización de Riemann) y como $P^1(\mathbb C)$ es compacto, $\tilde f$ sería constante y $f$ también sería constante: la contradicción.

Por último, permítanme hacer tres pequeños comentarios:
1) El campo $k$ en el teorema de Lüroth es completamente arbitraria y no necesita ser algebraicamente cerrada.
2) Existen pruebas puramente geométricas de Lüroth para campos arbitrarios (no sólo para $\mathbb C$ ), pero asumen cierta geometría algebraica, Riemann-Roch por ejemplo.
3) El análogo de Lüroth es en general falso para los campos de funciones racionales $k(x_1,...,x_n) \; (n \gt 1)$ sus subcampos no son todos extensiones puramente trascendentales de $k$ .