¿Es el Espacio $C^\alpha$ ¿se puede separar?

Question

Dejemos que $C^\alpha$ sea el espacio de las funciones continuas f(x) sobre [0,1]. Tal que $ sup \frac{|f(x_1)-f(x_2|}{|x_1-x_2|^\alpha}$ ( $ 0\le x_1 \le x_2 \le 1$ . Introduzca en este espacio la norma $||f||_C^\alpha = |f(0)|$ + $ sup \frac{|f(x_1)-f(x_2|}{|x_1-x_2|^\alpha}$ ( $ 0\le x_1 \le x_2 \le 1$ .

¿Necesito saber si es separable o no y por qué? Creo que no es separable, pero no sé por qué.

Answer 1

Para $a\in(0,1)$ , defina $u_{a}(t)=0$ para $t\in[0,a]$ y $u_{a}(t)=(t-a)^{\alpha}$ para $t\in(a,1]$ , entonces para $0<a<b<1$ tenemos \begin{align*} \|u_{a}-u_{b}\|&=\sup_{0\leq x_{1}\ne x_{2}\leq 1}\dfrac{|(u_{a}-u_{b})(x_{1})-(u_{a}-u_{b})(x_{2})|}{|x_{1}-x_{2}|^{\alpha}}\\ &\geq\dfrac{|(u_{a}-u_{b})(b)-(u_{a}-u_{b})(a)|}{|b-a|^{\alpha}}\\ &=\dfrac{(b-a)^{\alpha}}{|b-a|^{\alpha}}\\ &=1, \end{align*} sino el conjunto de todas las funciones $u_{a}$ , $a\in(0,1)$ es incontable, por lo que el espacio no es separable.