¿Cómo vestir las funciones libres de Green con un ensanchamiento constante?

Question

Quiero encontrar una manera de vestir las funciones libres de Keldysh Green con la ampliación de nivel más simple. Pero parece que hay algún resultado bastante inesperado.

Consideremos las funciones de Green libres de Keldysh en los libros de texto para un nivel único con simetría de traslación temporal \begin{equation}\label{eq:simpleGs} \begin{split} G^{\mathrm{R}(\mathrm{A})}(t) = \mp i \theta(\pm t) e^{- i \varepsilon_0 t} &\longleftrightarrow \frac{1}{\varepsilon - \varepsilon_0 \pm i 0} \\ G^\mathrm{K}(t) = - i (1-2n_F) e^{- i \varepsilon_0 t} &\longleftrightarrow -2\pi i (1-2n_F)\delta(\varepsilon - \varepsilon_0) \\ G^<(t) = i n_F e^{- i \varepsilon_0 t} &\longleftrightarrow 2\pi i n_F \delta(\varepsilon - \varepsilon_0), \end{split} \end{equation} donde el lado derecho muestra la expresión del espacio energético y $n_F$ es la distribución de Fermi valorada en $\varepsilon_0$ . Mi expectativa de la ampliación de nivel más simple posible es sólo una constante $\gamma$ como sigue \begin{equation} \begin{split} \tilde{G}^{\mathrm{R}(\mathrm{A})}(t) = \mp i \theta(\pm t) e^{- i \varepsilon_0 t} e^{\mp \gamma t} &\longleftrightarrow \frac{1}{\varepsilon - \varepsilon_0 \pm i \gamma} \\ \tilde{G}^\mathrm{K}(t) = - i (1-2n_F) e^{- i \varepsilon_0 t} e^{-\gamma |t|} &\longleftrightarrow -2 i (1-2n_F) \frac{\gamma}{(\varepsilon-\varepsilon_0)^2+\gamma^2} \\ \tilde{G}^<(t) = i n_F e^{- i \varepsilon_0 t} e^{-\gamma |t|} &\longleftrightarrow 2 i n_F \frac{\gamma}{(\varepsilon-\varepsilon_0)^2+\gamma^2}, \end{split}\tag{1}\label{dressedGs} \end{equation} que son consistente con la relación general $$G^< = \frac{1}{2}(G^\mathrm{K}-G^\mathrm{R}+G^\mathrm{A}).\tag{2}\label{G^<}$$ $\tilde{G}^{\mathrm{R}(\mathrm{A})}$ parece muy natural ya que sólo sustituimos el número imaginario infinitesimal por un ancho de línea finito $\gamma$ . Los otros dos, $\tilde{G}^\mathrm{K}$ y $\tilde{G}^<$ no son realmente extrañas si se recuerda la aproximación $\delta$ -función $\delta(\varepsilon-\varepsilon_0)=\lim_{\gamma\rightarrow0}\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{(\varepsilon-\varepsilon_0)^2+\gamma^2}$ .

Para conseguirlo, Intenté añadir la autoenergía $\Sigma^<(\varepsilon)= i \gamma$ y por lo tanto $\Sigma^<(t) = \frac{i\gamma}{2\pi} \int d\omega e^{-i\omega(t)} = i\gamma\delta(t)$ .
Con la relación general $\Sigma^{\mathrm{R}(\mathrm{A})} = \mp \Sigma^<$ válido cuando sólo tenemos $\Sigma^<$ podemos aplicar esto a la ecuación de Dyson $$\tilde{G}^{\mathrm{R}(\mathrm{A})}(\varepsilon) = [1 - G^{\mathrm{R}(\mathrm{A})}\Sigma^{\mathrm{R}(\mathrm{A})}]^{-1} G^{\mathrm{R}(\mathrm{A})},$$ que da exactamente nuestra expectativa $\tilde{G}^{\mathrm{R}(\mathrm{A})}$ en la Ec. \eqref {vestidoGs}.
Entonces apliquemos la fórmula del libro de texto [véase la Ec. (39) en esta nota ] $$\tilde{G}^< = (1+\tilde{G}^\mathrm{R}\Sigma^\mathrm{R}) G^< (1+\Sigma^\mathrm{A}\tilde{G}^\mathrm{A}) + \tilde{G}^\mathrm{R} \Sigma^< \tilde{G}^\mathrm{A}\tag{3}\label{G^<formula}$$ y la Ec. \eqref {G^<}. Para mi sorpresa, es da la $\tilde{G}^\mathrm{K}$ y $\tilde{G}^<$ expresiones de la Ec. \eqref {con $n_F=\frac{1}{2}$ que es bastante extraño, es decir, el $n_F$ dependencia se pierde por completo y en realidad $\tilde{G}^\mathrm{K}=0$ . (Por cierto, es sencillo ver este resultado. Aquí toda la primera parte antes del último '+' en la Ec. \eqref {G^<fórmula} se desvanece como he comprobado, que es efectivamente lo que ocurre para los estados estables como se menciona debajo de la Ec. (39) en esa nota. Entonces la parte restante $\tilde{G}^\mathrm{R} \Sigma^< \tilde{G}^\mathrm{A}$ obviamente falta $n_F$ .)

¿Estoy haciendo algo mal aquí? ¿O cómo se debe conseguir correctamente el ensanchamiento del nivel simple a esas funciones verdes?

Answer 1

El caso más sencillo en el que este ensanchamiento constante surge de forma natural es un nivel acoplado a un mar de Fermi, en un límite de banda ancha (es decir, con la densidad constante en el mar de Fermi), con Hamiltoniano: $$ H=\epsilon_0 d^\dagger d + \sum_k\epsilon_k c_k^\dagger c_k + \sum_k\left(Vd^\dagger c_k + V^*c_k^\dagger d\right), $$ El ensanchamiento en este caso viene dado por $$\gamma = 2\pi|V|^2\rho,$$ donde $$\rho(\epsilon) = \sum_k\delta(\epsilon - \epsilon_k)$$ es la densidad de estados, que se supone constante (el límite de banda ancha ). Las autoenergías vienen dadas entonces por $$ \Sigma^{r,a} = \mp\frac{i\Gamma}{2},\\ \Sigma^<(\omega)= i\Gamma n(\omega),\\ \Sigma^>(\omega)= -i\Gamma \left[1-n(\omega)\right], $$ que satisfacen la relación básica $$ \Sigma^>-\Sigma^<=\Sigma^r-\Sigma^a. $$

Precaución: Aquí me baso en mi memoria, por lo que algunos factores pueden ser incorrectos. El problema se resuelve con algunos detalles en El documento de Jauho, Meir y Wingreen pero no sigo necesariamente sus anotaciones. Otra referencia útil es el Opinión de Rammer&Smith ... todo lo demás son matemáticas :)

Derivaciones
Separamos la hamilroniana en una parte que no interactúa y la "interacción" (tuneling): $$ H = H_0 + H_T,\\ H_0=\epsilon_0 d^\dagger d + \sum_k\epsilon_k c_k^\dagger c_k,\\ H_T = \sum_k\left(Vd^\dagger c_k + V^*c_k^\dagger d\right). $$ La función de Keldysh Green para el nivel es: $$ G_{dd}(t,t') = \left\langle T_K\left[Sd(t)d^\dagger(t')\right]\right\rangle, $$ donde $T_K$ se ordena a lo largo del contorno de Keldysh, mientras que la matriz de dispersión viene dada por $$ S=T_K\exp\left[-i\int_{C_K}d\tau H_T(\tau)\right], $$ y todos los operadores están en la representación de interacción (es decir, su evolución está determinada por $H_0$ ).

Ahora podemos utilizar la expansión de Feynmann-Dyson u otro método para escribir la ecuación de Feynmann-Dyson como $$ G_{dd}(t,t') = g_{dd}(t,t') + \int_{C_K}d\tau_1d\tau_2g_{dd}(t,\tau_1)\Sigma(\tau_1,\tau_2)G_{dd}(\tau_2,t'),\\ \Sigma(\tau_1,\tau_2)=|V|^2\sum_k g_k(\tau_1,\tau_2). $$ Las funciones de Green que no interactúan vienen dadas por $$ g_{dd}(t,t')=\left\langle T_K\left[d(t)d^\dagger(t')\right]\right\rangle,\\ g_{k,k'}(t,t')=\delta_{k,k'}g_k(t,t')=\delta_{k,k'}\left\langle T_K\left[c_k(t)c_k^\dagger(t')\right]\right\rangle. $$ Esto nos permite escribir de inmediato: $$ \Sigma^{r,a}(\omega)=|V|^2\sum_{k}\frac{1}{\omega -\epsilon_k\pm i\eta} =\rho|V|^2\int d\epsilon \left[ \mathcal{P}\frac{1}{\omega-\epsilon} \mp\pi\delta(\omega-\epsilon)\right] = \mp\frac{i\Gamma}{2},\\ \Sigma^<(\Omega)=|V|^2\sum_k i2\pi n(\epsilon_k)\delta(\omega-\epsilon_k) = 2\pi i\rho|V|^2 \int d\epsilon n(\epsilon)\delta(\omega-\epsilon) =i\Gamma n(\omega),\\ \Sigma^<(\Omega)=-|V|^2\sum_k i2\pi \left[1-n(\epsilon_k)\right]\delta(\omega-\epsilon_k) = -2\pi i\rho|V|^2 \int d\epsilon \left[1-n(\epsilon)\right]\delta(\omega-\epsilon) =-i\Gamma \left[1-n(\omega)\right]. $$

Utilizando el álgebra de Langreth y pasando al espacio de Fourier, la ecuación de Dyson puede escribirse como $$ G_{dd}^{r,a}(\omega)=g_{dd}^{r,a}(\omega) + g_{dd}^{r,a}(\omega)\Sigma^{r,a}(\omega)G_{dd}^{r,a}(\omega),\\ G_{dd}^{>,<}(\omega)=g_{dd}^{>,<}(\omega) + g_{dd}^{>,<}(\omega)\Sigma^{a}(\omega)G_{dd}^{a}(\omega) + g_{dd}^{r}(\omega)\Sigma^{>,<}(\omega)G_{dd}^{a}(\omega) + g_{dd}^{r}(\omega)\Sigma^{r}(\omega)G_{dd}^{>,<}(\omega). $$ La primera ecuación se puede reformular como $$ \left\{\left[g_{dd}^{r,a}(\omega)\right]^{-1} - \Sigma^{r,a}(\omega)\right\}G_{dd}^{r,a}(\omega)=\left[G_{dd}^{r,a}(\omega)\right]^{-1}G_{dd}^{r,a}(\omega)=1\\ \Longrightarrow G_{dd}^{r,a}(\omega) = \frac{1}{\left[g_{dd}^{r,a}(\omega)\right]^{-1} - \Sigma^{r,a}(\omega)} = \frac{1}{\omega-\epsilon_d\pm\frac{i\Gamma}{2}} $$ La ecuación de las funciones mayor y menor puede escribirse como (teniendo en cuenta que $\left[g_{dd}^{r}(\omega)\right]^{-1}g_{dd}^{>,<}(\omega)=0$ ): $$ \left\{\left[g_{dd}^{r}(\omega)\right]^{-1} - \Sigma^{r}(\omega)\right\}G_{dd}^{>,<}(\omega) =\left[G_{dd}^{r}(\omega)\right]^{-1}G_{dd}^{>,<}(\omega)=\Sigma^{>,<}(\omega)G_{dd}^{a}(\omega)\\ \Longrightarrow G_{dd}^{>,<}(\omega) = G_{dd}^{r}(\omega)\Sigma^{>,<}(\omega)G_{dd}^{a}(\omega) = \frac{\Sigma^{>,<}(\omega)}{(\omega-\epsilon_d)^2+\frac{\Gamma^2}{4}} $$