Dejemos que $X,Y$ sean dos variables aleatorias independientes con funciones de distribución $F_X,F_Y$ . Necesito demostrar que $$P(Y\leq y+X)=\int F_Y(y+x)\mathrm{d}F_X(x)$$
No tengo ni idea de por dónde empezar.
Respuesta
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pete
Puntos
1
Si la FCD de $\left(X,Y\right)$ es $F_{X,Y}$ entonces: $$P\left(Y\leq y+X\right)=\iint f\left(u,v\right)dF_{X,Y}\left(u,v\right)$$ donde $f$ envía $\left(u,v\right)$ a $1$ si $v\leq y+u$ y a $0$ de lo contrario.
Por la independencia de $X$ y $Y$ tenemos $F_{X,Y}\left(u,v\right)=F_{X}\left(u\right)F_{Y}\left(v\right)$ lo que resulta en: $$\iint f\left(u,v\right)dF_{X,Y}\left(u,v\right)=\iint f\left(u,v\right)dF_{Y}\left(v\right)dF_{X}\left(u\right)=\int F_{Y}\left(y+u\right)dF_{X}\left(u\right)$$
Utilicé deliberadamente $u$ y $v$ en lugar de $x$ y $y$ para evitar la confusión que puede surgir porque en su pregunta $y$ ya se utiliza como una constante.
