Número esperado de tragos en el juego de beber 'Ride the Bus'

Question

Así que hay un juego de beber llamado 'Ride the Bus', que se juega con una baraja de cartas, y el 'perdedor' tiene que montar en el autobús, de la siguiente manera:

Coloca diez cartas boca abajo y revélalas una a una. Si se muestra una jota se muestra una Jota, se toma un trago y se añade una carta más boca abajo. Si es una Reina, dos bebidas y dos cartas. Si es un Rey, tres, y un As, cuatro. Se para una vez que todas las cartas han sido volteadas.

Así que me pregunté, ¿cuántos tragos se espera que se tomen? No pude averiguarlo sobre el papel, pero codifiqué una simulación y determiné que la media es de unas 22,5 bebidas, y la función de distribución de la probabilidad parece ser constante, excepto por un gran pico a las 40 bebidas. Así que en ese caso:

1. ¿Podemos determinar teóricamente el valor esperado y la función de distribución de probabilidad del número de copas al viajar en autobús?
2. ¿Podemos generalizar esto a los diferentes valores de las tarjetas? Por ejemplo, un 10 saca/bebe 1, una jota 3, el resto 0.

Answer 1

Esto no es una respuesta. Piensa en los estados y en las transiciones entre ellos. Un estado es $(n,j,q,k,a)$ , donde $n$ es el número de cartas boca abajo que tienes, $j$ es el número de jotas volteadas, $q$ es el número de reinas volteadas, etc.

Su juego comienza en el estado $(10,0,0,0,0)$ . Con probabilidad $\frac{4}{52}$ pasa al estado $(10,1,0,0,0)$ que implica una bebida. Con probabilidad $\frac{4}{52}$ pasa al estado $(11,0,1,0,0)$ que implica dos bebidas. La misma probabilidad se aplica a los estados $(12,0,0,1,0)$ y $(13,0,0,0,1)$ y a dos y tres copas respectivamente. Con la probabilidad restante se pasa al estado $(9,0,0,0,0)$ sin bebida.

Por lo tanto, el valor de $(10,0,0,0,0)$ es $$v_{(10,0,0,0,0)}=\tfrac{4}{52}(1+v_{(10,1,0,0,0)})+\tfrac{4}{52}(2+v_{(11,0,1,0,0)})+\tfrac{4}{52}(3+v_{(12,0,0,1,0)})+\tfrac{4}{52}(4+v_{(13,0,0,0,1)})+\tfrac{52-16}{52}v_{(9,0,0,0,0)}$$ Si se conoce el valor de los estados en la expresión, se conoce el número esperado de copas. Puedes proceder trabajando hacia atrás a partir de los estados que son finales. Por ejemplo, $v_{(n,4,4,4,4)}=0$ para cualquier $n$ . El problema práctico de calcular los valores es que, por ejemplo, la probabilidad de sacar jota cambia dependiendo de cuántas haya sacado ya.

Si está dispuesto a cambiar el juego de tal manera que "las cartas se roban con reemplazo" su cálculo sería más fácil. Es decir, suponga que tiene una baraja de 52 cartas y que empieza sabiendo que tiene que tirar $10$ . Robas una carta. Aplicas tus reglas añadiendo el número de carta que tienes que tirar si robas sota/reina/etc. y vuelves a poner la carta entre los $52$ .

Con esto, el estado se describe simplemente por el número de carta que tienes que robar.