Encuentre la transformación

Question

Tengo el papel con 3 puntos en él. También tengo una foto de este papel. ¿Cómo puedo determinar dónde está el papel en la foto, si sólo conozco las posiciones de estos puntos? ¿Y son suficientes 3 puntos? No parece una transformación lineal: el papel se convierte en trapecio en la foto. Pero debería poder escribirse matemáticamente. Estuve buscando sin éxito alguna función $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ que convierte las coordenadas de los puntos en el papel por defecto a sus coordenadas en la foto, así que podría aplicar esta función a las esquinas del papel, pero no tengo ni idea, de qué tipo de transformación debería ser.

Se agradece cualquier ayuda :)

Answer 1

Creo que una transformación proyectiva es exactamente lo correcto. Pero con una transformación proyectiva puedes llevar cuatro puntos cualesquiera en posición general (no hay tres colineales) a cualquier otro cuatro. Así que es mejor añadir un cuarto punto para reconstruir la transformación.

En términos de álgebra lineal, se quiere construir un $3\times 3$ matriz $A$ hasta los múltiplos escalares. Piensa en un punto en $\mathbb R^2$ como un vector $X=\begin{bmatrix}1\\x\\y\end{bmatrix}\in\mathbb R^3$ y su imagen será el vector $AX$ reescalada para que su primera coordenada sea igualmente $1$ . Así que vea que puede determinar $A$ de saber dónde cuatro mapa de puntos, piénsalo así. Un mapa lineal de $\mathbb R^3$ a $\mathbb R^3$ se determina por el lugar al que envía una base. Dados nuestros tres puntos en posición general, corresponden a vectores $P$ , $Q$ , $R\in\mathbb R^3$ hasta el escalamiento. Pero ahora, dado nuestro cuarto punto en posición general, podemos reescalar esos vectores para que el cuarto punto esté dado por $P+Q+R$ . Hacer la construcción correspondiente con los cuatro puntos de la imagen nos permitirá ahora especificar con precisión dónde $A$ envía nuestros vectores base, hasta una multiplicación escalar común.