Demostrar que $f(x)=x^4+8x^3+x^2+2x+5$ es irreducible en $\mathbb Q[x]$

Question

Demostrar que $f(x)=x^4+8x^3+x^2+2x+5$ es irreducible en $\mathbb Q[x]$ .

He probado muchos métodos:

El criterio de Eiseinstein no se aplica aquí. He intentado proyectar el polinomio sobre $\mathbb Z_2=\{\overline{0}, \overline{1}\}$ , obteniendo $f(x)=x^4+x^2+1$ pero es reducible: $f(x)=(x^2+x+1)^2$ . En $\mathbb Z_3$ el polinomio también es reducible: $f(x)=x^4+2x^3+x^2+2x+2$ tiene $2$ como raíz. En $\mathbb Z_5$ es evidentemente reducible. ¡Por favor, dame una idea!

Answer 1

Junta las piezas que tienes.

Módulo $2$ lo has hecho, en efecto, $f(x)=(x^2+x+1)^2$ . Esto no nos dice que $f$ es irreducible, pero nos dice que la única factorización posible (sobre $\Bbb{Z}$ ) es un producto de dos factores cuadráticos, ambos congruentes con $x^2+x+1$ modulo dos.

Módulo $3$ podemos usar la raíz que encontraste y el factor $$ f(x)=(x+1)(x^3+x^2+2). $$ En este caso, este último factor $p(x)$ se ve que es irreducible. Es cúbico, por lo que basta con comprobar la ausencia de raíces en $\Bbb{Z}_3$ que es fácil. También observamos que su recíproco es $$ \tilde{p}(x):=x^3p(\frac1x)=-(x^3-x-1). $$ Esto es del tipo irreducible "estándar" $x^p-x-a,a\neq0,$ en $\Bbb{Z}_p$ (busque en el sitio si aún no ha visto ese resultado).

Cualquiera que sea la conclusión de la irreductibilidad de $p(x)$ no importa. La información del módulo tres nos dice que la única manera $f$ puede ser un factor (de nuevo sobre $\Bbb{Z}$ ) es en un producto de un factor lineal y otro cúbico.

Pero, por supuesto, los bits de información del módulo dos y del módulo tres son incompatibles de cualquier manera que no sea $f$ siendo irreducible en $\Bbb{Z}[x]$ y por lo tanto también en $\Bbb{Q}[x]$ .