Confusión sobre la sustitución trigonométrica

Question

Estoy aprendiendo Sustituciones Trigonométricas, en el libro nos pusieron el siguiente ejemplo:

Estoy confundido sobre cómo exactamente hacemos la sustitución $x= a\sin(\theta)$

En la sustitución regular tenemos que tomar algo del integrando y sustituirlo por u. ¿Por qué en este caso podemos usar $a\sin(\theta)$ cuando no lo veo en el integrante?

Answer 1

Realmente no importa si "ves" algo en la integral (aunque a veces elegir tus sustituciones basándote en lo que puedes ver es útil). Lo que estás haciendo es definir una nueva variable en términos de la anterior, y reescribir la expresión que tienes completamente en términos de la nueva variable.

Se puede pensar en este ejemplo como la definición de $\theta$ por la fórmula:

$$\theta=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$$

de lo que se deduce que $x=a\sin(\theta)$ . Entonces, para reescribir la expresión en términos de $\theta$ puede simplemente reemplazar todas las ocurrencias de $x$ con $a\sin\theta$ .

Esto es análogo a comenzar con una expresión como $x\sqrt{2x-1}$ . Al ver el $2x-1$ le inspira a hacer la sustitución

$$u=2x-1$$

(sin embargo, podría haber definido $u$ de esta manera, incluso si $2x-1$ no aparece en la expresión). De ello se deduce que $x=\frac{u+1}{2}$ por lo que para escribir esta expresión en términos de $u$ se reemplazarían todas las ocurrencias de $x$ con $\frac{u+1}{2}$ . (Por supuesto, usted eligió $u$ para que la expresión bajo la raíz cuadrada sea igual a $u$ por lo que se podría sustituir el $2x-1$ inmediatamente con $u$ -- obtendrá la misma respuesta).

Answer 2

Cuando enseño la sustitución trigonométrica hago hincapié en que es una sustitución implícita . Por el contrario, el habitual $u$ la sustitución es una sustitución explícita . Una sustitución implícita introduce una nueva variable a través de alguna ecuación que la relaciona con las variables de integración dadas. En cambio, una sustitución explícita, con la que estás más familiarizado, escribe la nueva variable en términos de la dada. En ambos casos, tenemos que hacer dos o tres cosas:

1. cambiar el integrando a la nueva variable
2. cambiar la medida a la nueva variable
3. cambiar los límites a la nueva variable

Los detalles de 1 y 2 parecen diferentes para la implícita frente a la explícita, pero es el mismo concepto al igual que la diferenciación y la diferenciación implícita son realmente el mismo concepto. Pragmáticamente, la sustitución trigonométrica es más fácil para encontrar $dx$ en términos de la nueva medida $d\theta$ porque solo tomas $x=a \sin \theta$ y encontrar $dx = a \cos \theta d\theta$ . Entonces, ¿cómo cambiar $dx$ a la expresión correspondiente con $\theta$ . La respuesta a la pregunta anterior es obvia; $dx = a \cos \theta d\theta$ . Finalmente, ¿cómo cambiar el integrando? Bueno, tu post ya muestra cómo la identidad pitagórica para el seno y el coseno borra la raíz.

Es importante observar la nueva variable $\theta$ es el análogo del habitual $u$ -sustitución que has estudiado previamente. Por cierto, también hay $u$ -problemas de sustitución en los que el $u$ no está en el integrando original, esos son sólo problemas inusuales. Por ejemplo, $\int \sec \theta d\theta = \int du/u$ para $u=\sec \theta+\tan \theta$ . (ver, no $u$ en el problema original)