Cómo encontrar el ángulo con $\tan(\alpha)$ .

Question

Cómo encontrar este ángulo con $\tan(\alpha)$ . ¿Cómo debo empezar con la pregunta?

Answer 1

Dejemos que $R$ sea el radio del círculo. Sea $(R,0)$ , $(x,y)$ y $(0,R)$ sean las coordenadas de los puntos pertenecientes al círculo. Escribiendo el teorema de Pitágoras para los tres triángulos rectos que se pueden ver se obtiene :

$$\left\{\begin{eqnarray} (a) \ \ &x^2+(y-R)^2&=&6^2\\ (b) \ \ &x^2+y^2&=&R^2\\ (c) \ \ &x^2+R^2&=&14^2 \end{eqnarray}\right.$$

A partir de (c), se tiene $x^2=196-R^2$ . Si se introduce esta expresión de $x^2$ en (a) y (b) da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $y$ y $R$ de lo cual se debe concluir que $y=8 \sqrt{2}, \ R=9 \sqrt{2}.$

Así, $x^2=196-R^2=196-162=34$ Entonces $x=\sqrt{34}$ .

A continuación, introduce los resultados en la siguiente fórmula: $\tan \alpha = R/x$ de donde :

$\alpha = \mathbb{atan}(R/x)=\mathbb{atan}(9 \sqrt{2}/\sqrt{34})=\mathbb{atan}(9/\sqrt{17}) \ \approx \ 1.1412$ (radianes).

es decir, aprox. $64$ grados y medio.

Answer 2

Definir $\beta$ es el $\angle FCD$ en la respuesta de rogerl.

$$ \left\{ \begin{aligned} 2 R \sin\beta &= 6 \\ 6 \cos \beta &= \sqrt{14^2 - R^2} \end{aligned} \right. $$

definir $x = \cos^2\beta$

podemos conseguir $36x^2 - 232x + 187 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{18}$

así que $\sin\beta = \frac{1}{3\sqrt{2}}$ y $R=9\sqrt{2}$

así $\tan\alpha = \frac{R}{6\cos\beta} = \frac{9\sqrt{2}}{6\sqrt{\frac{17}{18}}} = \frac{9}{\sqrt{17}}$

Answer 3

La tarea consiste en encontrar $\tan\alpha$ , deberías favorecer un enfoque trigonométrico.

Tenga en cuenta que $R=14\sin\alpha$ .

Denote el ángulo entre la tangente y la cuerda de 6cm con $\beta$ . También hay que tener en cuenta que si se trazan líneas desde el centro del círculo hasta ambos extremos de la cuerda de 6 cm, el ángulo entre estas dos líneas es $2\beta$ (la prueba es elemental).

$$14\cos\alpha=6\cos\beta\tag{1}$$

$$2R\sin\frac{2\beta}{2}=2\times14\sin\alpha\sin\beta=6$$

$$28\sin\alpha\sin\beta=6\tag{2}$$

Intenta resolver $\alpha,\beta$ de (1),(2). Por ejemplo, exprese $\cos\beta$ de (1) y $\sin\beta$ de (2). Eleva al cuadrado estas dos expresiones y súmalas, $\beta$ desaparecerá. Obtendrás una simple ecuación con ángulo $\alpha$ siendo la única incógnita.

Answer 4

En el diagrama siguiente, a partir de los datos dados, tenemos $AC = AD = r$ , $CD=6$ , $CE=14$ . Queremos encontrar $CA$ y $AE$ . Llame a $a=AE$ , $b=ED$ . Luego de Pitágoras, $$r^2 + a^2 = 196,\quad a^2+b^2 = r^2,\quad a^2 + (r-b)^2 = 36.$$ Resuelve estas ecuaciones para encontrar $r$ y $a$ .