Considere los espacios de Sobolev $W^{k,p}(\Omega)$ con un dominio acotado $\Omega$ en el espacio euclídeo n-dimensional. Al enfrentar los diferentes teoremas de incrustación por primera vez, uno ciertamente puede sentirse perdido. ¿Existen ciertos trucos para memorizar las incrustaciones (continuas y compactas) entre los diferentes $W^{k,p}(\Omega)$ o en $C^{r,\alpha}(\bar{\Omega})$?
Respuestas
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Baltimark
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Para ver si un espacio $W^{k,p}$ se incrusta en otro, compare su $k-n/p$. Para ver si se incrusta en un espacio $C^{m,\alpha}$,, compáralo con $m+\alpha$. No sé si eso cuenta como fácil de recordar, pero funciona para mí.
Por supuesto, hay más en el teorema que lo que escribí, pero creo que he resumido la parte fácilmente olvidada.
Eric
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Una vez fui a una charla (lo siento, olvidé por quién) donde todos los espacios de Sobolev estaban trazados en $R^2$, con $k$ en el eje vertical y $1/p$ en el eje horizontal. En este diagrama, las "incrustaciones críticas" se encuentran en líneas con pendiente $n$. Dado un espacio $W^{k,p}$, los espacios que se pueden incrustar continuamente en él se encuentran sobre él en el diagrama y a la derecha de la línea a través de $W^{k,p}$ con pendiente $n$.
PD: Espero recordar correctamente, y que alguien me corrija de otra manera.
