Determine si $\lim_{(x,y)\to (2,-2)} \frac{\sin(x+y)}{x+y}$ existe.

Question

Estoy tratando de determinar si $\lim_{(x,y)\to (2,-2)} \dfrac{\sin(x+y)}{x+y}$ existe. Debería poder utilizar la siguiente definición para un límite de una función de dos variables:

Dejemos que $f$ sea una función de dos variables definida en algún disco abierto $B((x_0,y_0),r)$ , excepto posiblemente en el punto $(x_0,y_0)$ sí mismo. Entonces

$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L$$

si para cualquier $\varepsilon>0$ por pequeño que sea, existe un $\delta>0$ tal que

$$\text{if } 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta \text{ then } |f(x,y)-L|<\varepsilon$$

La definición de límite anterior aplicada al límite $\lim_{(x,y)\to (2,-2)} \dfrac{\sin(x+y)}{x+y}$ requiere que la función $\dfrac{\sin(x+y)}{x+y}$ se define en cada punto de un disco abierto $B((2,-2),r)$ (con la posible excepción del punto $(2,-2)$ ).

Mi problema aquí es que la función $\dfrac{\sin(x+y)}{x+y}$ es indefinido para $x+y=0$ es decir, es indefinido para todos los puntos de la línea $y=-x$ . Si lo he entendido bien, parece que significa que no encuentro ningún disco abierto $B((2,-2),r)$ sobre la que se define la función dada. Por lo tanto, parece que no puedo aplicar la definición de límite.

¿Qué estoy entendiendo mal aquí?

El argumento anterior me hace creer que este límite no existe (porque no puedo aplicar la definición), pero Wolfram|Alpha dice que el valor de este límite es $1$ . ¿Por qué esta aparente contradicción?

Editar : Debo señalar que este problema y la definición de límite que estoy utilizando están tomados del mismo libro. Por lo tanto, el libro asume que voy a utilizar la definición de límite dada.

Actualización

Tengo una duda más al respecto.

El mismo libro que estoy usando dice que la función de abajo es continua para todos los puntos $(x,y)$ en $R_2$ .

$$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\sin(x+y)}{x+y} & \text{ if $x + y \neq 0$} \\ 1 & \text{ if $x + y = 0$}\end{cases}$$

La prueba es la siguiente:

Dejemos que $h(t)=\begin{cases} \dfrac{\sin(t)}{t} & \text{ if $t \neq 0$} \\ 1 & \text{ if $t = 0$}\end{cases}$ y $g(x,y) = x+y$ ; así que, $f(x,y) = h(g(x,y))$ . El dominio de $g$ es $R_2$ y es continua en todo su dominio. Dado que $g(x,y)\to 0$ como $x+y\to 0$ y $h$ es continua en $0$ , $h(g(x,y))$ es continua en todas partes.

La definición de continuidad en este libro establece que, para una función de dos variables $g$ para ser continua en $(x_0,y_0)$ , $g(x_0,y_0)$ tiene que existir y $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} g(x,y)$ tiene que ser igual a $g(x_0,y_0)$ . Entonces, por la definición dada de continuidad, $f(x,y)$ al ser continua en todas partes significa que $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$ para todos $(x_0,y_0)$ .

La prueba anterior parece implicar que $\lim_{(x,y)\to (2,-2)} \dfrac{\sin(x+y)}{x+y}$ debería existir. Pero el problema es que este límite no debería existir, teniendo en cuenta la definición de límite que estoy utilizando en esta pregunta. ¿Hay una contradicción aquí o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Considere la situación cerca de $(2,-2)$ :

$\hspace{4.5cm}$

Observa que entre las dos líneas negras, en particular dentro del círculo, $|x+y|\le0.00001$ .

Sabemos que $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ Así que haciendo el círculo lo suficientemente pequeño, $\frac{\sin(x+y)}{x+y}$ se puede hacer lo más parecido a $1$ como queramos dentro del círculo. Así que fuera de la línea $x+y=0$ , $$ \lim\limits_{\substack{x\to2\\y\to-2}}\frac{\sin(x+y)}{x+y}=1 $$ Sin embargo, estrictamente hablando, $\frac{\sin(x+y)}{x+y}$ no existe en la línea $x+y=0$ por lo que el límite no existe.

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Con respecto a la actualización:

Como dije arriba, fuera de la línea $x+y=0$ , $$ \lim\limits_{\substack{x\to2\\y\to-2}}\frac{\sin(x+y)}{x+y}=1 $$ La razón por la que la línea $x+y=0$ se excluye, es que hay enfoques a lo largo de esa línea donde los valores de $\frac{\sin(x+y)}{x+y}$ no están definidos porque la división por $0$ se produciría. Si definimos $$ f(x,y)=\left\{\begin{array}{} \frac{\sin(x+y)}{x+y}&\text{if }x+y\ne0\\ 1&\text{if }x+y=0 \end{array}\right. $$ entonces $f(x,y)$ se define en todas partes y por la misma razón que $$ g(x)=\left\{\begin{array}{} \frac{\sin(x)}{x}&\text{if }x\ne0\\ 1&\text{if }x=0 \end{array}\right. $$ es continua, $f(x,y)=g(x+y)$ es continua. De hecho, $f$ es la composición de dos funciones continuas, $g$ y la adición.

Sin embargo, a menos que definamos explícitamente $f(x,y)$ a lo largo de la línea $x+y=0$ , $f$ ni siquiera está definida en esa línea, y mucho menos es continua en ella.

Answer 2

La definición exacta de límite varía un poco. En muchas situaciones es demasiado restrictivo suponer que f está definida en una vecindad abierta puntuada del punto. A menudo basta con exigir que el dominio de definición intersecte a cada uno de esos vecindarios.

Con esta definición más permisiva, el límite puede calcularse utilizando un límite bien conocido de una variable:

$$\lim_{(x,y)\to(2,-2)} \frac{\sin(x+y)}{x+y} = \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$$

(ya que el valor de $f(x,y) = \frac{\sin(x+y)}{x+y}$ sólo depende de $x+y$ que claramente tiende a $0$ como $(x,y) \to (2,-2)$ ).

El siguiente gráfico de $z = \frac{\sin(x+y)}{x+y}$ debería hacer más creíble el cálculo anterior:

Answer 3

Utilizando la interpretación de buena fe de la expresión $$f(x,y):={\sin(x+y)\over x+y},$$ se define en el conjunto $D:={\mathbb R}^2\setminus\{(x,-x)\ |\ x\in{\mathbb R}\}$ . El punto $(2,-2)$ es un punto de acumulación de $D$ por lo que se permite considerar la $\lim_{(x,y)\to(2,-2)} f(x,y)$ . Aquí se entiende tácitamente que $f$ sólo se evalúa en puntos de $D$ .

La función $${\rm sinc}:\quad {\mathbb R}\to{\mathbb R},\qquad u\mapsto\cases{{\sin u\over u}\quad &$ (u\ne0) $ \cr \ 1&$ (u=0) $\cr}$$ es bien conocida por ser continua en todos los ${\mathbb R}$ por lo que la función $$\tilde f(x,y):={\rm sinc}(x+y)$$ es continua en todo ${\mathbb R}^2$ . Ya que para $(x,y)\in D$ tenemos $f(x,y)=\tilde f(x,y)$ se deduce que $$\lim_{(x,y)\to(2,-2)} f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(2,-2)}\tilde f(x,y)=\tilde f(2,-2)=1\ .$$