Sé que podemos ampliar una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con una serie de potencias $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, $$ donde podemos encontrar $\{a_n\}$ dado $f$ utilizando sus derivados sobre $0$ . Lo que me gustaría saber es si existe una "serie exponencial" para $f$ . Es decir, ¿hay una secuencia $\{b_n\}$ tal que $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n e^{x n}, $$ y si es así, ¿cómo podríamos encontrar $b_n$ dado un general $f$ ? ¿Existen condiciones para $f$ para la que no hay ninguna secuencia $\{b_n\}$ ¿puede existir?
Edición: Para que quede claro, $x$ aquí es real, no imaginario, por lo que no es una serie de Fourier, y la $e^{xn}$ no son una base ortonormal. Obviamente, existen algunas series triviales, como $f(x) = e^x$ para $b_n = \delta_{n1}$ pero ¿qué pasa con otras funciones más interesantes como $f(x) = e^{x^2}$ ?
