Bultos principales sobre variedades proyectivas complejas

Question

Por diversas razones, me interesa trabajar con variedades proyectivas complejas que también son haces principales. Empecé por examinar los propios espacios proyectivos $\mathbb{CP}^n = SU(n+1)/U(n)$ y luego se generaliza a los espacios grassmannianos $Gr(n,d) = U(n)/U(d) \times U(n-d)$ y, por último, a los colectores de banderas $U(n)/U(k_1) \times \cdots \times U(k_m)$ . Ahora estoy buscando otros ejemplos de variedades proyectivas que también sean haces principales. ¿Alguien conoce alguno?

EDIT: Perdón por hacer una pregunta tan mal planteada, no me di cuenta de que había hecho tantas suposiciones tácitas. Lo que estoy buscando son los principales $G$ paquetes $\pi:P \to X$ tal que $G$ y $P$ son ambos grupos de Lie compactos (idealmente grupos matriciales), y $X$ es una variedad proyectiva. Según tengo entendido, no siempre es posible construir un haz de este tipo para una variedad proyectiva, siendo un obstáculo la ausencia de un grupo de simetría continuo.

Answer 1

Probablemente quieres decir que te interesan los haces principales en una variedad proyectiva $X$ siendo la fibra un grupo de Lie compacto $G$ . Si está interesado en la clasificación topológica de tales haces, entonces este es un problema clásico, y los haces se clasifican por clases de homotopía de mapeos de $X$ al espacio clasificatorio $BG$ (la estructura de una variedad proyectiva en $X$ no es importante aquí, sólo su topología). Se sabe mucho sobre la clasificación de tales mapeos; en particular, este problema da lugar a la teoría de las clases características, y (en el caso de $G=U(n)$ es decir, haces vectoriales complejos) a la topológica $K$ -que describen los invariantes de dichos haces. La Wikipedia contiene mucha información y referencias al respecto.

Otro problema es ver los paquetes con una estructura adicional, normalmente una conexión. Por ejemplo, si $X$ es una curva, es interesante observar los haces con una conexión plana. Estos haces forman un interesante espacio de moduli, que es el mismo que el espacio de haces holomorfos estables cuya fibra es la complejización $G_{\Bbb C}$ de $G$ para los simples simplemente conectados $G$ (el teorema de Narasimhan-Seshadri). Si $G=U(1)$ este espacio de moduli es simplemente el jacobiano de $X$ . Existe un análogo del teorema de Narasimhan-Seshadri para dimensiones superiores, que se denomina teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau.

Answer 2

Según interpreto tu pregunta, estás buscando haces principales donde la base es proyectiva, y tanto la fibra como el espacio total son grupos compactos.

Hay una clase obvia de estos, que es tomar cualquier grupo compacto $P$ y la modificación por un subgrupo de Levi $G$ (Intento que coincida con la notación de tu pregunta. Pido disculpas a los teóricos de la mentira del público por utilizar la notación más confusa que existe) [ EDITAR: en el original, esto había dicho "que contiene el toro máximo", ya que había olvidado que hay subgrupos no Levi que contienen el toro máximo]. Este cociente será siempre una variedad proyectiva.

Creo que se puede demostrar que ésta es la única forma de obtener un cociente que sea proyectivo (nótese que la complejización de $P$ actúa sobre el cociente, ya que es compacto, y la complejización del álgebra de Lie actúa; ahora utiliza el teorema del punto fijo de Borel). [ EDITAR: parece que esto no es cierto. Por ejemplo, las curvas elípticas existen].

Es posible que haya alguna forma extraña de hacer $G$ actuar $P$ que no es un subgrupo, pero creo que los anteriores son la clase correcta de ejemplos que generalizan el Grassmannian. [ EDITAR: este párrafo al menos es lo suficientemente vago como para no ser falso, pero como se señala en los comentarios, hay otros ejemplos]