Determinación del tamaño de los subconjuntos.

Question

Si tenemos un conjunto $\{a,b,c\}$ va a haber $8$ subconjuntos, a saber

un subconjunto vacío: $\{\emptyset\}$

$3$ subconjuntos de tamaño uno: $\{a\},\{b\},\{c\}$

$3$ subconjuntos de tamaño dos: $\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}$

$1$ subconjunto de tamaño tres: $\{a,b,c\}$

Ahora bien, si uno va a un conjunto superior como $\{a,b,c,d\}$ y etc, el número de subconjuntos aumenta y seguiría $2^n$ regla de los subconjuntos. Ahora me pregunto si hay un patrón matemático para agrupar estos subconjuntos por el tamaño de los elementos que existen en cada subconjunto como hice en el ejemplo anterior.

Answer 1

Sí, claro. Un número de subconjuntos con cardinalidad $k$ en un conjunto con cardinalidad $n$ viene dada por el coeficiente binomial $${n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}$$

Answer 2

El triángulo de Pascal proporciona una respuesta exacta a esto. \begin{array}{rccccccc} n=0: \quad & &&& 1 = \binom{0}{0} &&& \\ n=1: \quad & && 1 = \binom{1}{0} && 1 = \binom{1}{1} && \\ n=2: \quad & & 1 = \binom{2}{0} && 2 = \binom{2}{1} && 1 = \binom{2}{2} & \\ n=3: \quad & 1 = \binom{3}{0} && 3 = \binom{3}{1} && 3 = \binom{3}{2} && 1 = \binom{3}{3} \end{array}

El $n$ -La fila del triángulo muestra cómo se dividen los subconjuntos y el $n$ -la fila número uno suma a $2^n$ que se mantiene con el número de subconjuntos.

El coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ da el número de formas de cómo dibujar $k$ números de un conjunto de $n$ elementos.