mostrando una continuidad uniforme

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico y $(a_n)$ sea una secuencia de puntos distintos en $ X$ de manera que cada $a_n$ es un punto límite de $X$ . Si $U_n$ son vecindades abiertas mutuamente disjuntas de $a_n$ en $X$ . Entonces la función $f:XR$ dado por $f(x)=\frac{d(x,A_n)}{n(d(x,A_n)+d(x,b_n))}$ si $x\overline{U_n}$ para algunos $n$ ; $f(x)=0$ de lo contrario donde $A_n={a_n}(\overline{U_n}U_n)$ y $b_n$ es el punto en $U_n$ diferente de $a_n$ .

S. Nadler en su artículo POINTWISE PRODUCTS OF UNIFORMLY CONTINUOUS FUNCTIONS SARAJEVO JOURNAL OF MATHEMATICS Vol.1 (13) (2005), 117-127 (Theorem 4.2) construyó esta función y dijo que es una función uniformemente continua, lo cual no puedo verificar. Creo que sin algunas condiciones adicionales en los conjuntos Un's no será posible demostrar la continuidad uniforme de esta función (ya que no tenemos un bonito lema de pegado para las funciones uniformemente continuas como para las fucniones continuas). (En realidad, el documento no muestra explícitamente que la función es uniformemente continua. ver la última línea en la página 121 "se deduce fácilmente que f es uniformemente continua en todo X." pero no parece ser fácil con la información proporcionada por el autor del documento. $\overline{U_n}$ y $\overline{U_m}$ )

Answer 1

Creo que esto se puede demostrar de la siguiente manera.

Primero, si tomamos un subconjunto finito $[0,M] \subset \mathbb{N}$ y restringir a aquellos $n \in M$ entonces claramente $f$ es uniformemente continua.

En segundo lugar, $0 \le \|f(x)\| \le \frac{1}{n}$ en $U_n$ .

Dejemos que $\epsilon > 0$ . Elija $M$ lo suficientemente grande como para que $\frac{2}{M} < \epsilon$ . Ahora bien, si tenemos dos puntos $x_1, x_2 \in X$ , entonces si ambos no se encuentran dentro de ningún $U_n$ para $n > M$ entonces utiliza la continuidad uniforme del subconjunto $[0,M]$ . Si ambos $x_i \in U_k$ para algunos $k > M$ entonces $\|f(x_1) - f(x_2)\| < \epsilon$ por el segundo, estimación directa sobre $f$ .

Si uno $x$ se encuentra en el interior $U_k$ para algunos $k > M$ y el otro no, entonces usa la desigualdad del triángulo con un tercer punto $y \in \overline{U_k} - U_k$ y las estimaciones anteriores de nuevo.

Creo que con un examen cuidadoso, esto puede convertirse en un módulo de continuidad uniforme rigurosamente definido para $f$ .