Demostrar que $S_1$ y $S_2$ son submanifoldos regulares

Question

Consideremos los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R^3}$

$1$ ) $S_1 = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R^3} : x^3+y^3+z^3 = 1\}$

$2$ ) $S_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R^3} : x^3+y^3+z^3 = 1 , x+y+z=0 \}$

Necesito demostrar que $S_1$ y $S_2$ son submanifolds regulares de $\mathbb{R^3}$ .

Así que para $S_1$ calculé los puntos críticos que se pueden encontrar escribiendo un jacobiano o simplemente diferenciando la función e igualándola a $0$ . El único punto crítico es $(0,0,0)$ y como este punto no pertenece a $S_1$ s0 cada punto de $S_1$ es un punto regular y por lo tanto $S_1$ es un submanifiesto regular. ¿Es correcto mi planteamiento?

Sin embargo, si aplico el mismo razonamiento para $S_2$ Me encuentro con problemas ya que aquí el punto crítico $(0,0,0)$ se encuentra en $S_2$ por lo que no puede ser un submanifold regular ya que cada punto no es un punto regular. ¿Estoy equivocado?

Si no estoy en lo cierto, por favor, ayúdenme con la solución.

Answer 1

Para $S_2$ , se sabe que cada pieza es un submanifold ( $x+y+z = 0$ es un plano). Ahora sólo hay que demostrar que la intersección de los colectores (que son los conjuntos solución de) $x^3+y^3+z^3=1,x+y+z = 0$ es transversal y ya está.