¿Existe la "media finita"?

Question

Llamaré a un media cualquier función continua $f(v_1,\dots,v_n)$ de $n$ argumentos tales que se encuentra en el intervalo cerrado $[\min(v_{1},\dots ,v_{n});\max(v_{1},\dots ,v_{n})]$ es simétrica para todas las permutaciones de argumentos y es homogéneo con el grado $1$ .

Pregunta: ¿Puede una media no tiende a infinito cuando uno de los argumentos tiende a infinito y el resto de argumentos son reales fijos no negativos? (Podemos suponer $n\geq 2$ .)

Mi pregunta original tenía una solución trivial $\min(v_{1},\dots ,v_{n})$ Así que vamos a añadir un requisito adicional: nuestra media no tiende a cero cuando uno de los argumentos tiende a cero y el resto de argumentos son reales positivos fijos? (Podemos suponer $n\geq 2$ .)

Answer 1

No estoy seguro de que esto coincida con sus necesidades, pero $f(v_1,...,v_n)=\min(v_1,...,v_n)$ podría obedecer todos sus requerimientos. Es homogénea de grado 1, simétrica en toda permutación de argumentos, y si un solo argumento va al infinito, no cambiará su valor. Además, se encuentra en el intervalo cerrado que quieres.

Answer 2

Para $k=1,2,...,n$ definir $m_k=\min_{i\neq k}\{v_i\}$ y $f(v_1,...,v_n)=\max_{k=1,...,n}\{m_k\}$ . Esto se puede generalizar para excluir el primer $l$ mínimos, lo que permitirá $f$ para no llegar a cero, ya que las entradas $v_1, ..., v_l\to 0$ .