¿Por qué es $\int^\infty_{-\infty} \frac{x}{x^2+1} dx$ no cero?

Question

Nos rompen $\int^\infty_{-\infty} \dfrac{x}{x^2+1} dx$ en la:

$$\lim_{t\to -\infty} \int^0_t \dfrac{x}{x^2+1} dx + \lim_{t\to \infty} \int^t_0 \dfrac{x}{x^2+1} dx$$

Así, se evalúan, esta da;

$$\lim_{t \to \infty} \left(\frac{1}{2} \ln (1+t^2)\right) - \lim_{t \to -\infty} \left(\frac{1}{2} \ln (1+t^2)\right)$$

Pero estos dos términos son esencialmente idénticas! Debe ser cero! Además, el integrando es una función impar, entonces, ¿por qué es este indefinida? Es simplemente una regla tácita de que una vez que te encuentres $\infty$ en una expresión matemática debe dejar de evaluar de inmediato?

Answer 1

Deberíamos estar de acuerdo en que, sea lo que sea queremos $$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$$ ser, la expresión debe respetar las reglas habituales de la integración. En particular, para cualquier número real $c$, "deberíamos" tener $$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = \int_{-\infty}^cf(x)\,dx + \int_c^{\infty}f(x)\,dx.$$

De lo contrario, el valor de la integral puede depender de la forma en que elegimos para evaluar la integral, y que no es bueno.

Esto a su vez significa que para que $$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$$ para hacer sentido, necesitamos tanto $$\int_{-\infty}^cf(x)\,dx\quad\text{and}\quad\int_{c}^{\infty}f(x)\,dx$$ para hacer sentido por separado y de forma independiente, y que esto suceda para cada número real $c$.

Así, en orden de $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx$$ para tener sentido como un número, necesitamos $$\textbf{both}\quad\int_{-\infty}^c\frac{x}{1+x^2}\,dx\quad\textbf{and}\quad \int_{c}^{\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx\quad\textbf{to each make sense for every }c.$$

Sin embargo, $$\int_c^{\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx$$ ¿ no existe para cualquier valor de $c$, por lo que no podemos hacer sentido de $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx$$ como un número.

Ahora, es tentador decir que ya que la función es impar y el intervalo es simétrica respecto al origen, la integral "debe" ser igual a $0$. Por desgracia, que se ejecuta en serios problemas muy pronto. Considerar, por ejemplo, tratando de argumentar de esa manera con $$\int_{-\infty}^{\infty}\sin x\,dx.$$ Bueno, que "debería" ser $0$ porque $\sin x$ es una función impar. Sin embargo, yo afirmo que, de hecho, la integral "debe" ser $2$. Por qué? Bien, $$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}&\sin x\,dx\\ &= \cdots + \int_{-4\pi}^{-2\pi}\sin x\,dx +\int_{-2\pi}^0\sin x\,dx + \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx +\int_{\pi}^{3\pi}\sin x\,dx + \int_{3\pi}^{5\pi}\sin x\,dx + \cdots \end{align*}$$ ahora, cada integral a excepción de $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx$ es igual a $0$; y $$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2.$$ Así que, "claramente", todo integral, $\int_{-\infty}^{\infty}\sin x\,dx$ "debe" igualdad de $2$, no $0$. Y por la elección de otras maneras de romper $(-\infty,\infty)$, te podría dar buenas razones de por qué la integral "debe ser" cualquier número que desee entre $-2$$2$.

Esto simplemente no va a hacer; y así se resuelve el problema de llegar a la única conclusión posible: la integral original, simplemente no existe. Sólo porque nuestra función es impar no es razón suficiente para concluir que la integral "debe" ser $0$.

Answer 2

Dicha integral se define SÓLO si cada una de las dos partes se define:

$\displaystyle\lim\limits_{t\to -\infty} \int^0_t \dfrac{x}{x^2+1} dx$

y

$\displaystyle\lim\limits_{t\to \infty} \int^t_0 \dfrac{x}{x^2+1} dx$

Entonces, si AMBOS de estos límites existen por separado, el pleno de la integral se define como la suma de los dos. Pero, como tu trabajo, cada uno de estos tiene un límite de $\infty$, es decir, no existe. Así, el pleno de la integral, $\displaystyle\int^\infty_{-\infty} \frac{x}{x^2+1} dx$, es indefinido.

Answer 3

Esta integral no converge absolutamente desde $\frac{|x|}{1+x^2}\sim\frac 1{|x|}$$|x|\to\infty$$\int\limits_{x=1}^\infty \frac{1}{|x|} = \infty$. A pesar de que para hacer frente a problemas como el suyo, usted puede considerar el valor principal de Cauchy que en su caso existe y, de hecho $0$ ya que la función es impar.

Answer 4

Hace varios años, he añadido este ejemplo de artículo de Wikipedia titulado integral impropia:

$$ \lim_{un\rightarrow\infty}\int_{-a}^\frac{2x\,dx}{x^2+1}=0\text{ y }\lim_{un\rightarrow\infty}\int_{-2a}^\frac{2x\,dx}{x^2+1}=-\ln 4. $$ En ambos casos, los límites inferiores y superiores de la integración de ambos enfoque infinitos. Pero los dos valores que obtenemos son diferentes. Esto sólo puede ocurrir si el positivo y negativo de las piezas son infinito, es decir,$\displaystyle \int_{-\infty}^0 \dfrac{2x\;dx}{x^2+1}=-\infty$$\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{2x\;dx}{x^2+1}=\infty$.