Para una secuencia arbitraria y finita de números reales, ¿existe siempre una fórmula explícita?

Question

Para una secuencia finita de números reales An={a1, a2, a3,..., an}, ¿habrá siempre una fórmula explícita para describirla?

Así, por ejemplo, supongamos que elijo "al azar" la secuencia de números -3, 1904, 17, 1/12, 21245, -3/16. ¿Está garantizada la existencia de una fórmula explícita que genere cada uno de los términos, aunque sea una fórmula enorme e increíblemente compleja?

Answer 1

Sí. Para una secuencia de $n$ valores, $a_1, a_2, \ldots, a_n$ no hay sólo una fórmula... en realidad hay una polinomio , $p$ y tiene un grado como máximo $n-1$ con la propiedad de que $$ p(1) = a_1\\ p(2) = a_2 \\ \ldots\\ p(n) = a_n $$

Por ejemplo, para una secuencia de dos valores, existe un polinomio lineal, cuya gráfica es la recta que une los dos puntos $(1, a_1)$ y $(2, a_2)$ .

Este polinomio se llama polinomio interpolante de Lagrange o interpolante de Lagrange. Véase esta referencia . La fórmula del polinomio, en términos de la $a_i$ valores, es un poco desordenado, pero no horrible.

La mayoría de los artículos sobre el interpolante de Lagrange quieren una secuencia de pares $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ . En su caso, cada $x_i$ es sólo $i$ es decir, sus pares son $(1, a_1), (2, a_2), \ldots, (n, a_n)$ .

Answer 2

Interpolación de Lagrange nos permite ajustar un polinomio de grado $≤n-1$ a cualquier $n$ puntos. En su caso, podríamos considerar los puntos $\{(i,a_i)\}$ y tomar $$P(x)=\sum_i a_i \prod_{k\neq i} \frac {x-k}{i-k}$$ Sin duda, la respuesta no suele ser bonita. Para sus datos, por ejemplo, obtenemos $$-\frac {929965}{1152}x^5+\frac {14608403}{1152}x^4-\frac {84548401}{1152}x^3+\frac {223594237}{1152}x^2-\frac {44506895}{192}x+\frac {1587695}{16}$$ (confiando en que haya transcrito correctamente).