Múltiples de Calabi-Yau y espacios de configuración de enlaces poligonales: ¿relacionados?

Question

Estaba leyendo sobre Colectores de Calabi-Yau sobre el que sé poco, y me preguntaba si estos (o los complejos colectores relacionados, tal vez Superficies K3 ) pueden verse como espacios de configuración espacios (o espacios de módulo ) de enlaces poligonales articulados, digamos con longitudes de aristas fijas y articulaciones de vértice? Esta pregunta es un tiro en la oscuridad; disculpas por su ingenuidad. Pero podría ayudarme a Pero podría ayudarme a entender las variedades complejas si puedo verlas como espacios de configuración poligonal.

Se agradecerá cualquier referencia en esta dirección general. Gracias.

Answer 1

Un ejemplo ilustrativo: el espacio de moduli $M$ de pentágonos regulares con aristas de longitud unitaria . Esto se incrusta como un subconjunto abierto y denso de una superficie compleja compacta $\bar{M}$ con una forma canónica de Kaehler. Esta superficie, una ampliación de 4 pliegues de $\mathbb{CP}^2$ no es Calabi-Yau (haz canónico trivial) sino Fano (haz anticanónico amplio).

El espacio del pentágono regular compactado $\bar{M}$ es el espacio de las 5 parejas de vectores unitarios en $\mathbb{R}^3$ con centro de masa cero, modulando la acción diagonal de $SO(3)$ . Como recordamos el orden de estos vectores, los puntos típicos representan pentágonos regulares con un vértice distinguido ("empieza aquí") y una arista adyacente ("sigue por aquí"). También hay puntos que representan un triángulo equilátero junto con un par de puntos antípodas, y estos puntos que no son pentágonos forman diez 2 esferas en $\bar{M}$ .

$\bar{M}$ tiene una estructura simpléctica natural, para la cual las diez 2-esferas son lagrangianas. Tomemos la única forma-área en $S^2$ invariante bajo $SO(3)$ del área total 1 e induciendo la orientación compleja de $S^2=\mathbb{CP}^1$ . El mapa de momentos $S^2\to \mathfrak{so}(3)^\ast \cong \mathbb{R}^3$ para el $SO(3)$ -acción es sólo la inclusión de $S^2$ en $\mathbb{R}^3$ . El producto $(S^2)^5$ lleva la forma simpléctica del producto, de nuevo $SO(3)$ -invariante, con el mapa de momentos $\mu(x_1,\dots,x_5)=x_1+\dots + x_5\in \mathbb{R}^3$ . El cociente simpléctico $\mu^{-1}(0)/SO(3)$ es sólo $\bar{M}$ .

La acción de $SO(3)=PU(2)$ respeta la compleja estructura de $(\mathbb{CP}^1)^5$ y $\bar{M}$ hereda una estructura compleja por reducción de Kaehler. Resulta ser isomorfa como superficie de Kaehler a un blow up de $\mathbb{CP}^2$ en cuatro puntos especiales con una forma de Fano Kaehler (pero no he pensado en qué puntos). Véase el documento de Seidel Conferencias sobre giros de Dehn en 4 dimensiones , ex. 1.10. Hay una acción natural del grupo icosaédrico, permutando el $x_i$ .

Si uno quisiera pentágonos definidos por alguna otra ecuación lineal, digamos $a_1x_1+\dots + a_5x_5=0$ Se le daría a la $S^2$ -áreas de factores $a_i$ .

También se puede interpretar $\bar{M}$ como cociente algebro-geométrico (GIT) de $(\mathbb{CP}^1)^5$ por $PSL_2(\mathbb{C})$ . El cociente resulta ser la compactación de Deligne-Mumford (o Grothendieck-Knudsen) $\bar{M}_{0,5}(\mathbb{C})$ de configuraciones de cinco puntos en $\mathbb{CP}^1$ . Los puntos reales $\bar{M}_{0,5}(\mathbb{R})$ los puntos fijos de una involución antiholomorfa de $\bar{M}$ también son interesantes: sus componentes conectadas son poliédricas y son copias de las 2 dimensiones Associaedro de Stasheff (también conocido como pentágono).

Referencias:

F. Kirwan, Cohomología de cocientes en geometría simpléctica y algebraica .

J.-C. Hausmann y A. Knutson, Espacios poligonales y grassmanianos .

Answer 2

El ejemplo de Tim ha sido generalizado en cierta medida por Kapovich y Millson. El espacio $\mathcal{M}(\mathbf{r})$ de $n$ -gones en $\mathbb{E}^3$ con un vector fijo $\mathbf{r}\in\mathbb{R}_+^n$ de longitudes laterales tiene la estructura de un espacio analítico complejo con singularidades cuadráticas en el peor de los casos. Esto se debe a que $\mathcal{M}(\mathbf{r})$ es un cociente simpléctico ponderado de la variedad de Kähler $(S^2)^n$ por $SO(3)$ .

Referencia: Michael Kapovich y John J. Millson, La geometría simpléctica de los polígonos en el espacio euclidiano . J. Differential Geom. Volumen 44, Número 3 (1996), 479-513.