El conjunto de todos los máximos locales absolutos de $f$ es contable

Question

La función $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tiene un máximo local absoluto en $c$ si :
Existe $\delta \gt 0 $ tal que $ \forall x \space (0 \lt |x-c| \lt \delta) \implies f(x) \lt f(c)$

Demostrar que el conjunto de todos los puntos en los que $f$ tiene un máximo local absoluto es contable.

Nota 1 : ¿Es correcto este método? Creo que el conjunto mencionado anteriormente, es un subconjunto de todos los puntos máximos locales de $f$ . Entonces, si demuestro que "el conjunto de todos los puntos máximos locales de $f$ " es contable, he terminado. Pero, si eso es cierto, ¿cómo puedo demostrarlo?

Nota 2 : Hay una pregunta similar ( no es lo mismo ) a mi pregunta pero no tiene una buena respuesta.

Answer 1

Una pista. Por cada $c$ que satisface la condición, elija un número racional en $(c-\delta,c)$ y otro en $(c,c+\delta)$ . No hay dos máximos locales absolutos diferentes que puedan tener el mismo par de racionales. Por lo tanto, no puede haber más máximos locales absolutos que pares de racionales.