El lema de Zorn no es necesario para demostrar la existencia de un atlas máximo, aunque es conveniente. Por un lado, no tenemos que demostrar que la compatibilidad de atlas es una relación de equivalencia. Por otro lado, la prueba obvia utilizando el lema de Zorn requiere algo de trabajo extra para demostrar que existe un único atlas maximal que contiene cualquier atlas. Así que vamos a hacerlo sin el lema de Zorn.
Definición. Dos atlas sobre una variedad son compatibles si su unión es un atlas.
Lema. La compatibilidad de los atlas es una relación de equivalencia.
Prueba. Está claro que la compatibilidad es simétrica y reflexiva, y queda por demostrar que la compatibilidad es transitiva. Sea $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \mathcal{A}_3$ ser tres atlas en un $k$ -manifold $M$ y supongamos que $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ y $\mathcal{A}_2 \cup \mathcal{A}_3$ son atlas. Queremos mostrar $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_3$ es un atlas. Así que dejemos $\varphi_1 : U_1 \to \mathbb{R}^k$ sea un gráfico en $\mathcal{A}_1$ , $\varphi_3 : U_3 \to \mathbb{R}^k$ sea un gráfico en $\mathcal{A}_3$ . $\mathcal{A}_2$ es un atlas, por lo que para cada punto $x$ en $U_1 \cap U_3$ hay un gráfico $\varphi_2 : U_2 \to \mathbb{R}^k$ en $\mathcal{A}_2$ tal que $x \in U_2$ Pero $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son compatibles y $\varphi_2$ y $\varphi_3$ son compatibles por lo que vemos que $\varphi_1$ y $\varphi_3$ son localmente compatibles en $x$ . (Aquí, "compatible" significa que el mapa de transición satisface la condición de regularidad pertinente. Es muy posible que haya invocaciones del axioma de elección ocultas aquí, pero supondré que no las hay). Además, $x$ es arbitraria en $U_1 \cap U_3$ así que esto muestra $\varphi_1$ y $\varphi_3$ son compatibles; y $\varphi_1$ y $\varphi_3$ también son arbitrarios, por lo que $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_3$ es un atlas.
Lema. La clase de atlas en una variedad es un conjunto.
Prueba. La clase de los atlas es una subclase del conjunto $$\mathscr{P} \left( \bigcup_{U \in \mathscr{P}(M)} \{ U \to \mathbb{R}^k \} \right)$$ donde $\{ U \to \mathbb{R}^k \}$ denota el conjunto de todas las funciones $U \to \mathbb{R}^k$ por lo que, por el axioma de separación, la clase de los atlas es un conjunto.
Lema. La unión de un número arbitrario de atlas compatibles entre sí es un atlas.
Prueba. Inmediato.
Teorema. Cada atlas está contenido en un único atlas maximal.
Prueba. De lo anterior se desprende que todo atlas $\mathcal{A}$ está contenida en alguna clase de equivalencia de atlas, y esta clase de equivalencia es un conjunto de atlas compatibles. Sea $\overline{\mathcal{A}}$ sea la unión de todos esos atlas. Entonces $\mathcal{A} \subseteq \overline{\mathcal{A}}$ y $\overline{\mathcal{A}}$ es el único atlas máximo que contiene $\mathcal{A}$ porque si $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}'$ entonces $\mathcal{A}$ y $\mathcal{A}'$ son compatibles, por lo que $\mathcal{A}' \subseteq \overline{\mathcal{A}}$ por la construcción.
En aras de la exhaustividad, esbozo una prueba utilizando el lema de Zorn.
Teorema. Todo atlas está contenido en un atlas máximo.
Prueba. El conjunto de todos los atlas que contienen $\mathcal{A}$ parcialmente ordenado por inclusión es un poset completo en cadena: en efecto, es evidente que si tenemos una cadena $\{ \mathcal{A}_\alpha \}$ entonces $\bigcup_\alpha \mathcal{A}_\alpha$ es también un atlas. Por lo tanto, se cumplen las hipótesis del lema de Zorn y existe algún atlas máximo que contiene $\mathcal{A}$ .
