"En primer lugar quería comprobar si tienen un error en la solución. Así que para la matriz de transición, el elemento p11 debería ser 0 y p12 debería ser 1, pero lo tienen al revés, así que quería comprobar si esto era un error o no."
Tienes razón. $p_{1,1}$ debe ser $0$ y $p_{1,2}$ debe ser $1$ .
"En segundo lugar, si un conjunto es una clase de comunicación (CC), por ejemplo {1,2,3}, y el estado {1} también es una CC, ¿significa eso que no necesitamos incluir {1} por separado porque ya está incluido en {1,2,3}? Así que básicamente si las clases de comunicación fueran {1,2,3} y {1} entonces es lo mismo que escribir sólo {1,2,3) ya que 1 ya ha sido incluido en {1,2,3}"
"En tercer lugar ¿es un error de nuevo en las soluciones cuando han incluido {1} como CC. Porque no tiene un bucle sobre sí mismo así que cómo puede ser un CC".
Un estado $i$ se comunica con un estado $j$ si ambos $i \rightarrow j$ y $j \rightarrow i$ Es decir, que puede pasar de un estado a otro y viceversa.
La comunicación es una relación de equivalencia y el conjunto de estados que se comunican forma clases de equivalencia.
Las clases de equivalencia forman una partición del el conjunto de estados.
Una partición de un conjunto es una agrupación de los elementos del conjunto en subconjuntos no vacíos, de manera que cada elemento esté incluido en uno y sólo uno de los subconjuntos.
Así que si un estado $i$ comunicarse con el estado $j$ que se puede escribir $i \leftrightarrow j$ entonces pertenecen a la misma clase de comunicación y están relacionados entre sí $i \sim j$ y pertenecen a la misma clase de equivalencia.
Así que $\{1,2,3\}$ y $\{1\}$ no pueden estar comunicando clases al mismo tiempo.
"En cuarto lugar, ¿cómo podríamos determinar si un conjunto A de CC es cerrado? Sé cómo determinar si un estado i que es un CC está cerrado para lo cual vemos si pii=1 pero para un conjunto A que consta de más de un estado ¿cómo determinamos si ese conjunto está cerrado? por ejemplo si un CC {1,2} está cerrado entonces ¿qué necesitamos para comprobar si está cerrado o no?"
Una clase de comunicación es cerrada si la probabilidad de abandonar la clase es cero. En su caso, considere la clase comunicante $\{4, 5\}$ . Una vez que estás allí o si empiezas allí nunca podrás salir del estado $4$ y el estado $5$ es decir, está cerrado porque la probabilidad de abandonar la clase es cero.
Y lo mismo ocurre con $\{6\}$ . Una vez que estás allí no puedes irte nunca.
Si sólo tienes la matriz de transición y quieres averiguar si una clase de comunicación está cerrada o no, puedes mirar dónde están las entradas no nulas en la matriz, por ejemplo, si $\{4, 5\}$ es un CC como lo es aquí entonces su cerrado si las entradas que comienzan con un $4$ o un $5$ y terminar con $1-3$ y $6$ son cero, es decir, las filas $4$ y $5$ debe ser cero, excepto las entradas entre el estado $4$ y $5$ . $p_{4,5}$ y $p_{5,4}$ tiene que ser distinto de cero porque los estados se comunican y $p_{4,4}$ y $p_{5,5}$ puede ser distinto de cero o cero, no importa.
