Si $f(x^3 + x) = x^3 + x^2 + 1$ Entonces, ¿qué es $f'(2)$ ?

Question

Si $f(x^3 + x) = x^3 + x^2 + 1$ Entonces, ¿qué es $f'(2)$ ?

Ni siquiera tengo una idea de cómo resolver este problema. He resuelto todos los problemas de mi libro de texto hasta esta pregunta, así que pensé que o bien me faltaba alguna información crítica sobre las derivadas o simplemente no podía encontrar la forma de resolverlo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Utiliza la regla de la cadena :

$$g(x)=x^3+x^2+1=f(x^3+x)$$ Así que..: $$3x^2+2x=f'(x^3+x)(3x^2+1)$$ Ahora deja que $x=1$ para conseguir $$5=4f'(2)$$ $$f'(2)=\frac{5}{4}$$

Answer 2

Bien, si tomas una derivada del LHS obtienes $$ f'(x^3+x) (3x^2+1), $$ por lo que se puede resolver para $f'(x^3+x)$ y elegir $x$ para que $x^3+x=2$