Problema relacionado con la solución de la ecuación diferencial $y'=|y|^{\frac12},y(0)=0\,$

Question

Estoy atascado en el siguiente problema que dice :

¿Cuál de las siguientes es una solución de la ecuación diferencial $y'=|y|^{\frac12},y(0)=0\,$ donde raíz cuadrada significa la raíz cuadrada positiva ?

1. $y(t)=\frac{t^2}{4}$

2. $y(t)=-\frac{t^2}{4}$

3. $y(t)=\frac{t|t|}{4}$

4. $y(t)=-\frac{t|t|}{4}$

MI INTENTO: Tomando $y>0,$ Obtengo de la ecuación diferencial $y'=|y|^{\frac12},y(0)=0 \implies 2\sqrt y=x $ . Ahora, después de de mirar las opciones ,no estoy seguro de cual de las opciones mencionadas es la correcta . ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Redefinir $y'$ sin módulo en dos funciones en dos intervalos, resuelve cada uno trata de ponerlos en una forma obtendrás la respuesta 3 $$y'=(-y)^{\frac{1}{2}}\to y=-\frac{t^2}{4}=\frac{t|t|}{4}\ \ \text{when $ t, y\le0 $}$$ $$y'=(y)^{\frac{1}{2}}\to y=\frac{t^2}{4}=\frac{t|t|}{4}\ \ \text{when $ t,y\Nge0 $}$$

Answer 2

Sólo 3, es una solución.

Pero cabe destacar que este problema de valor inicial en particular no goza de unicidad. Otra solución del mismo PIV es $y\equiv 0$ - De hecho, este PIV tiene infinitas soluciones.