¿Pueden los ceros de una función diferenciable distinta de cero tener un punto límite?

Question

Dejemos que $f:\mathbb R\to \mathbb R$ sea una función diferenciable tal que el conjunto $A=\{x:f(x)=0\}$ tiene un punto límite en $\mathbb R$ .

¿Implica esto que $f(x)\equiv 0$ ?

Answer 1

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \\ \end{cases} $$ Vea el aspecto de la función aquí . Tenga en cuenta que puede generalizar, sustituir por $2$ por $n$ (es decir $x^n \sin(1/x)$ ) y tiene un $(n-1)$ -función diferenciable y el conjunto $A$ sigue teniendo un punto límite en $0$ .

Tenga en cuenta que no puede esperar $f$ para ser analítica, ya que las funciones analíticas no nulas tienen ceros aislados. Sin embargo, no sé si son suaves.

Espero que eso ayude,

Answer 2

Dejemos que $f(x)=0$ si $x<0$ y $f(x)=x^2$ si $x\geq 0$ .

El conjunto de valores donde la función es $0$ es $(-\infty,0]$ que tiene puntos límite $(-\infty,0]$ .