La introducción del cuantificador universal aparentemente sigue todas las reglas, sin embargo, no

Question

Se me pide que demuestre $(\forall x):[P(x)\rightarrow Q(x)]$ de las dos premisas $(\forall x):[P(x) \rightarrow (Q(x) \vee R(x))]$ y $\neg[(\exists x):[P(x) \wedge R(x)]]$ .

He replicado mi intento de papel en Fitch, un comprobador de pruebas de lógica. Fitch me dice que mi último paso de la introducción universal no es un paso lógico. Estoy luchando para ver por qué este es el caso, sobre todo porque he utilizado este paso en aparentemente la misma manera innumerables veces antes, y, mi paso sigue la regla de introducción universal, a saber:

$$\dfrac{\boxed{x_0 \\.\\.\\.\\\phi[x_0/x]}}{\forall x \phi} \forall x \text{ i}$$

A continuación se muestra mi intento de prueba y el error de Fitch. El aviso me indica que el paso en cuestión "es de forma incorrecta". ¿Puede alguien aconsejarme sobre lo que he hecho mal?

Answer 1

Debe comenzar la subprueba para un introducción universal con un arbitrario suposición.   Esto es sólo una declaración de la variable local sin ninguna otra suposición sobre ella.

La línea 3 no es una suposición arbitraria. Tiene una suposición añadida de $P(a)\to(Q(a)\lor R(a))$ . No lo hagas.

Usted querrá derivar $P(a)\to(Q(a)\lor R(a))$ por separado de la declaración de la variable, utilizando la eliminación universal de la línea 1.

$${\begin{array}{|l}3~.~\boxed a\\\hline4'.~ P(a)\to(Q(a)\lor R(a))\quad\forall\mathsf E~1\\\vdots\\16'.~P(a)\to Q(a)\end{array}\\17'.\forall x~(P(x)\to Q(x))\qquad\quad\forall\mathsf I~3{-}16'}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\neg\exists x(P(x) \wedge R(x)) \iff (\forall x):[\neg P(x) \vee \neg R(x)].$

Utilizando la instanciación universal, obtenemos que $\neg P(a) \vee \neg R(a)$ para un número arbitrario de $a.$

Además, utilizando la misma regla, se concluye que $P(a) \to (Q(a) \vee R(a)).$

Utilizando la implicación material, se obtiene $\neg P(a) \vee Q(a) \vee R(a).$

La regla de adjetivación da como resultado $[\neg P(a) \vee \neg R(a)] \wedge [\neg P(a) \vee Q(a) \vee R(a)].$

De la regla distributiva se deduce $\neg P(a) \vee [\neg R(a) \wedge (Q(a) \vee R(a))].$

Modus Tollendo Ponens le dice que $\neg P(a) \vee Q(a).$

Por último, utilizando de nuevo la Implicación Material, se obtiene $P(a) \to Q(a).$

Desde $a$ es un elemento arbitrario, se utiliza la Generalización Universal para concluir que $(\forall x):[P(x) \to Q(x)].$