En 2d CFT, por qué el $T_{zz}$ ¿el componente del tensor energía-momento es holomorfo incluso a nivel cuántico?

Question

En la teoría de campos conformes 2d, el $T_{zz}$ componente del tensor energía-momento se trata como una función holomórfica $T(z)=T_{zz}$ a nivel cuántico como en la OPE implicaba el tensor de energía-momento.

Sé que, en la teoría clásica, esta conclusión proviene de la ecuación de conservación y sin trazas de $T_{\mu\nu}$ . El sin trazas lleva a $T_{z\bar{z}}=0$ y entonces la ley de conservación implica $$\partial_{\bar z} T_{zz}=\partial_z T_{\bar z\bar z}=0$$ Sin embargo, un campo cuántico no necesita satisfacer la ecuación de movimiento clásica. (Ya que en el fomalismo integral de trayectoria $\int D\phi\ e^{-S[\phi ]}$ el campo cuántico $\phi$ puede ser cualquier configuración de campo suave y el tensor de energía-momento es un funcional de campo $\phi$ .) La ecuación de conservación es la clásica

Entonces, ¿por qué el $T_{zz}$ ¿sigue siendo una función holomórfica a nivel cuántico?

Answer 1

Seguiré el libro de CFT de Di Francesco. Combinando las identidades de Ward asociadas a la invariancia conformacional (Ec. 5.32), se puede llegar a

$$ \partial_{\bar{z}} \Big[ \langle T(z, \bar{z} ) X \rangle - \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{z-w_i} \partial_{w_i} \langle X \rangle + \frac{h_i}{(z-w_i)^2} \langle X \rangle \right) \Big] = 0 , \qquad \qquad \text{(Eq. 5.39)}$$

donde $T(z, \bar{z})$ es la componente "holomórfica" del tensor energía-momento ( en esta convención $T(z, \bar{z}) = - 2 \pi T_{zz}$ ) y $X$ es una cadena de campos cuasi-primarios $\Phi_1(w_1, \bar{w}_1) ... \Phi_n(w_n, \bar{w}_n)$ con dimensiones holomórficas $h_1, ... , h_n$ . Esto significa que la función de correlación $\langle T(z, \bar{z} ) X \rangle$ es en realidad holomorfo hasta la suma

$$ \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{z-w_i} \partial_{w_i} \langle X \rangle + \frac{h_i}{(z-w_i)^2} \langle X \rangle \right). $$

Nótese que esta suma no es exactamente holomorfa debido a la propiedad

$$\partial_{\bar{z}} \frac{1}{z} = \pi \delta (\mathbf{x}), $$

donde $\delta (\mathbf{x})$ es el delta de Dirac en el punto $z$ pero en coordenadas euclidianas (su normalización puede cambiar al cambiar las coordenadas). Por lo tanto, si se aplica esta propiedad a la ecuación 5.39 se puede ver fácilmente que $\partial_{\bar{z}} \langle T(z, \bar{z} ) X \rangle$ realmente se desvanece mientras no tomemos $z$ para coincidir con algún $w_i$ (se denominan términos de contacto y básicamente siempre están presentes en la teoría cuántica). Creo que esto es lo que se quiere decir con " $T_{zz}$ es holomorfo a nivel cuántico".