Diferencia entre los haces $S^2$ sobre $S^2$ y $CP^2\sharp CP^2$

Question

Quiero distinguir los $S^2$-fibrados sobre $S^2$ del $CP^2\sharp CP^2$.

Como sabes, un $S^2$-fibrado sobre $S^2$ es $S^2\times S^2$ o $M= S^3\times_{S^1}S^2$ donde $M$ es difeomorfo a una variedad de cohomogeneidad uno, es decir, $M/G=[0,1]$, cuyo diagrama de grupos es $G=S^3 \supset K_- = S^1, K_+ = S^1 \supset H=\{1\}.

En detalle, $G=S^3$ actúa sobre $M^4$ isométricamente cuyo grupo principal de isotropía es $H=\{1\}$. Si $\pi : M \rightarrow M/G=[0,1]$ es un mapeo cociente, entonces $\pi^{-1}(0)$ y $\pi^{-1}(1)$ son solo dos órbitas singulares difeomorfas a $G/K_- = G/K_+ = S^2$.

Es decir, $M$ es la unión de dos fibrados de disco de dos dimensiones $D_i$ sobre $S^2$ cuya intersección es $S^3$. Aquí $\partial D_i = S^3 \rightarrow S^2$ es una fibración de Hopf.

Pero no puedo describir $CP^2\sharp CP^2$. Por definición $CP^2\sharp CP^2 = (CP^2-D^4) \cup_{\partial D^4=S^3} (CP^2-D^4)$. Pero no puedo visualizar la variedad en mi cabeza.

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Edit (Debido al comentario de Misha):

Estoy bien si respondes de dos formas:

Forma I: Tienen diferentes formas de intersección. Quiero saber el método de cálculo.

En $M=S^2\times S^2$, $H_2(S^2\times S^2; Z) = Z^2$. Las superficies correspondientes a los generadores de $H_2(S^2\times S^2; Z)$ son $S_1= S^2\times \{ pt\}$ y $S_2=\{ pt \} \times S^2$. Podemos desplazar $S_i$ sobre $S_i'$ en $M$ de modo que $S_i\cap S_i'=\emptyset$. Pero aunque empujamos $S_i$ en cualquier dirección, $S_1'\cap S_2' \neq \emptyset$. Esto implica que la forma de intersección es $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$ Pero no entiendo por qué la forma de intersección de $CP^2\sharp CP^2$ es $\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{array} \right)$

Forma II: Supongamos que las tres variedades anteriores tienen curvatura no negativa. Quiero saber la geometría cuando $T^2$ actúa sobre ellas.

Searle y Yang (Ver [SY]) han demostrado que si una variedad $M^4$ cerrada y simplemente conectada con curvatura no negativa admite una acción isométrica de $S^1$, entonces $M$ es homeomorfa a $S^4$, $CP^2$, $S^2\times S^2$ o $CP^2\sharp \pm CP^2$.

[SY] C. Searle y D. Yang, On the topology of nonnegatively curved simply connected 4-manifolds with continuous symmetry, Duke Math. J. Volume 74, Number 2 (1994), 547-556.

En el teorema anterior, ¿existe la posibilidad de que no haya una acción de $S^1$ en $CP^2\sharp CP^2$? ¿O hay un ejemplo concreto de una acción de $S^1$?

Answer 1

Resumen sobre los espacios $S^2\times S^2$, $S^2\tilde\times S^2$ y $\mathbb CP^2\#\mathbb CP^2$:

1. Solo existen dos $S^2$-fibrados sobre $S^2$: el fibrado trivial $S^2 \times S^2$ o el fibrado no trivial usualmente denotado $S^2\tilde\times S^2$, que es difeomorfo a $\mathbb C P^2\#-\mathbb C P^2$, es decir, $\mathbb C P^2$ volado en un punto. (Recuerde que $-\mathbb C P^2$ denota $\mathbb C P^2$ con la orientación opuesta). Ambos de estos espacios admiten acciones de cohomogeneidad uno, $SO(3)$ actúa diagonalmente sobre $S^2\times S^2$ y $SU(2)$ actúa sobre $S^2\tilde\times S^2$ cuando visto como el cociente $S^3\times_{S^1} S^2$, vea respectivamente p. 5 y 12 de este artículo para más detalles.

2. La suma conexa $\mathbb C P^2\#\mathbb C P^2$ no admite una acción de cohomogeneidad uno, aunque puede descomponerse en dos fibrados de disco que sí la tienen (sin embargo, no pueden ser pegados respetando la acción). Para una descripción en términos de una acción de cohomogeneidad dos con toro, vea abajo.

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Tal vez una buena forma geométrica de visualizar $\mathbb C P^2\# \mathbb C P^2$ que puede ayudarte es la siguiente. El $2$-toro $T^2$ actúa en $\mathbb C P^2$ con cohomogeneidad dos. Recuerde que la construcción de esta acción se puede ver como tener $T^{n+1}$ actuando en $\mathbb C^{n+1}$ multiplicando coordenada por coordenada, luego restringir la acción a la esfera unitaria $S^{2n+1}\subset \mathbb C^{n+1}$ y tomar un cociente de $T^{n+1}$ actuando en $S^{2n+1}$ por el círculo en $T^{n+1}$ cuya acción en $S^{2n+1}$ es la acción de Hopf que da $\mathbb C P^n=S^{2n+1}/S^1$. De esta manera obtenemos $T^n$ actuando en $\mathbb C P^n$ (y el ejemplo anterior es el caso $n=2$). El espacio de órbita de esta acción de $T^2$ en $\mathbb CP^2$ es un triángulo esférico con los tres ángulos iguales a $\pi/2$. Cada uno de los vértices corresponde a un punto fijo del toro en el espacio (y los lados tienen isotropía singular un círculo).

Ahora, toma dos copias de este triángulo esférico (correspondiendo a dos copias de $\mathbb CP^2$ - y si queremos ser cuidadosos creo que deben tener orientaciones opuestas), elimina el vecindario de un vértice en cada triángulo (correspondiendo a eliminar una bola en cada copia de $\mathbb CP^2$, ya que las órbitas de estos vértices son puntos) y pégalas juntas a lo largo de estos vecindarios eliminados. El espacio de Alexandrov resultante es un rectángulo (ya que los dos vértices restantes en cada uno de los triángulos pegados tenían ángulo $\pi/2$); y este es exactamente el espacio de órbita de la acción de cohomogeneidad $2$ con toro en $\mathbb C P^2\#\mathbb CP^2$. [Ya que lo estabas preguntando, en particular, obtienes muchos subacciones de círculo, pero con espacios de órbita más grandes.]

Esta imagen es similar a la que tenías del espacio de cohomogeneidad uno $S^3\times_{S^1} S^2$ de la siguiente manera. Imagina que estamos foliando el rectángulo (espacio de órbita de la acción de $T^2$ en $\mathbb C P^2\#\mathbb CP^2$) con segmentos verticales, de lado a lado. Cada uno de los lados verticales (en realidad, cualquier lado) del rectángulo es un espacio de cohomogeneidad uno con órbitas singulares iguales a puntos y grupo de isotropía principal un círculo. De hecho, son difeomorfos equivariantemente a $S^2$ con la acción de rotación del $S^1$. De esta manera, obtienes dos $S^2$ en lados opuestos, y en el "medio", nos quedan segmentos verticales que corresponden a espacios de cohomogeneidad uno con órbitas singulares iguales a círculos y grupos de isotropía principales triviales. Son de hecho esferas $S^3$ con la acción estándar de $T^2$. Así que tenemos una imagen similar: dos $S^2$ en lados opuestos y $S^3$ en el "medio". Pero esto es diferente del espacio de cohomogeneidad uno $S^3\times_{S^1} S^2$, donde tienes una acción de $S^3$, aunque tiene una estructura topológica similar de dos $S^2$ en lados opuestos y $S^3$ llenando el "medio". Perdón por la descripción un tanto informal, espero que ayude...