¿Por qué la probabilidad total es la suma de las probabilidades condicionales?

Question

Considere la siguiente pregunta tomada de este enlace, número de pregunta $25$ :

Tenemos cuatro cajas. Caja $1$ contiene $2000$ componentes de los cuales $5$ por ciento son defectuosos. Caja $2$ contiene $500$ componentes de los cuales $40$ por ciento son defectuosos. Cajas $3$ y $4$ contienen $1000$ cada uno con $10$ por ciento defectuoso. Seleccionamos al azar una de las cajas y retiramos al azar un solo componente. ¿Cuál es la probabilidad de que el componente seleccionado sea defectuoso?

La solución se da en forma de probabilidades condicionales como

$$ P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + P(A3) P(B/A3) + P(A4) P(B/A4)$$

$$P(B) = 1/4 (0.05 + .4 + .1 + .1) = 0.1625$$

Me pregunto, ya que las probabilidades de seleccionar cada una de las cajas es igual, por qué la probabilidad de una pieza defectuosa no lo es: $$ \frac{\text{Total defective components}}{\text{Total Number of Components}} = 500/4500 =0.1111 $$

Answer 1

Las cajas tienen diferentes números de componentes. Así que si elegimos una caja y luego un componente, no todos los componentes tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Los que están en las cajas más pequeñas tienen una ventaja.

Un ejemplo extremo creo que aclarará las cosas. Supongamos que las cajas 1, 2 y 3 contienen cada una un componente defectuoso. La caja 4 contiene $97$ componentes, todos ellos buenos. Está claro que si elegimos una caja al azar, y luego un componente, la probabilidad de que el componente elegido sea malo es $3/4$ . Si utilizáramos el número total de malos dividido por el número total de componentes, obtendríamos $3/100$ , muy lejos de la verdad.