Demuestra que una matriz con ciertas propiedades es una matriz de permutación.

Question

Tengo el siguiente problema de álgebra lineal:

Dejemos que $A=(a_{ij})_{i,j=\overline{1,n}}$ ser un $r\times r$ matriz con entradas enteras no negativas con $\det A = \pm 1$ . Supongamos que para cualquier $j\neq k$ existe $i$ tal que $a_{ij}>0$ y $a_{ik}=0$ . Demostrar que $A$ es una matriz de permutación.

Pude probar los casos $n=2$ y $n=3$ .

En el caso $n=2$ : Desde $1\neq 2$ existe $i$ tal que $a_{i1}>0$ y $a_{i2}=0$ . Además, como $2\neq 1$ existe $i$ tal que $a_{i2}>0$ y $a_{i1}=0$ . Tenemos dos casos posibles:

(a) $a_{11}>0, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}>0$ o b) $a_{21}>0,a_{22}=0, a_{12}>0,a_{11}=0$ .

Desde $\det(A)=\pm 1$ se deduce que (a) $a_{11}=a_{22}=1$ o b) $a_{12}=a_{21}=1$ . Por lo tanto, $A$ es una matriz de permutación.

En el caso $n=3$ En el caso de la crisis de los derechos humanos, utilicé un argumento similar, pero más elaborado. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo generalizarlo. ¿Alguien puede darme una pista o una referencia? Gracias de antemano.

Answer 1

Tengo un método relativamente limpio para demostrar el resultado para matrices de 3 x 3 si te interesa. Aplicado a matrices de 4 x 4 creo que da un contraejemplo:-

$\pmatrix{2&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 1&1&0&0\\0&0&1&1}$