$\sum \frac{z^{2n}}{1-z^{n}}$ normalmente convergente en $\mathbb{E}$

Question

Intenté resolver este ejercicio (Teoría de las funciones complejas de Remmert, p. 107, ejercicio 1 ), pero no llegué muy lejos:

Propuesta: $$\sum \frac{z^{2n}}{1-z^{n}}$$ es normalmente convergente en $\mathbb{E}$

¿Qué hace $\mathbb{E}=\{z\in \mathbb{C} | |z|<1 \}$ ¿podría significar? Para la convergencia normal, ¿basta con encontrar una serie mayoritaria cuyo valor absoluto sea menor que infinito?

así que (lo más probable es que sea $|z|<1$ para todos $z\in \mathbb{C})$ : $$\left|\sum \frac{z^{2n}}{1-z^{n}} \right| \le \sum \left| \frac{r^{2n}}{1-r^{n}}\right| \le \sum |r^{n}| < \infty$$

¿Alguien ve si esto es correcto?

Answer 1

La definición de convergencia normal según Remmert es la siguiente:

Una serie de funciones $\sum f_n$ , $f_n:X\to\Bbb C$ es normalmente convergente en $X$ si para cada $x\in X$ hay un nbhd $U$ de $x$ tal que $\sum |f_n|_U<+\infty$ donde $|f_n|_U=\sup_U |f_n|$

Además, $B(0,1)$ es localmente compacto, por lo que basta con demostrar que para cada bola $B(0,r)$ con $0<r<1$ tenemos $$\sum |f_n|_{B(0,r)}<+\infty$$

para en un espacio localmente compacto $X$ la convergencia normal es equivalente a $\sum |f_n|_K<+\infty$ para cada $K$ compacto en $X$ .