Integración de la función escalonada de Heaviside de dos variables

Question

Supongamos que tenemos una integral definida como $$I=\int_0^\infty dx \int_0^\infty dy \, (-x-y)$$ donde $a \in R_+^*$ y $$ es el Función escalonada de Heaviside . Por supuesto, esto es fácil ya que podemos encontrar la respuesta sin trabajar con integrales, ya que es simplemente el área de un triángulo con vértices $O(0,0)$ , $A(a,0)$ , $B(0,a)$ que es $\frac{a^2}{2}$ .

Sin embargo, tratar de resolver la integral no parece tan trivial (al menos para mí). Uno podría, ingenuamente, hacer por ejemplo $I=\int_0^\infty dx \int_0^{a-x} dy = -\infty$ (ya que $=0$ para $y \ge a-x$ ) que es obviamente incorrecto- de alguna manera $$ should affect both integral limits, but I can't see how this can happen. Probably I'm misunderstanding the definition of $(-x-y)$.

EDITAR : Como señaló @John Polcari, en el ejemplo anterior, deberíamos limitar $x$ tal que $a-x \ge 0$ , por lo que deberíamos tener $I= \int_0^\infty dx \int_0^{a-x}(a-x) \, dy$ que efectivamente da el resultado correcto. Sin embargo, me parece que esto es como añadir el $(-x)$ a mano, que no es diferente del primer argumento con el área del triángulo. ¿Hay una forma más bonita -más estricta- de hacerlo?

Answer 1

El resultado formalmente correcto es $$\int\limits_0^\infty {dz\,\Theta \left( {a - z} \right)} = a\,\Theta \left( a \right)$$

En caso de que no esté claro cómo aplicar esto:

Por implicación de lo anterior $$\int\limits_0^\infty {dz\,z} \,\Theta \left( {a - z} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\Theta \left( a \right)$$ Entonces $$\begin{array}{l} \int\limits_0^\infty {dx\int\limits_0^\infty {dy\,\Theta \left( {a - x - y} \right)} } = \int\limits_0^\infty {dx\left( {a - x} \right)\Theta \left( {a - x} \right)} \\ = a\int\limits_0^\infty {dx\,\Theta \left( {a - x} \right)} - \int\limits_0^\infty {dx\,x\;\Theta \left( {a - x} \right)} \\ = {a^2}\Theta \left( a \right) - \frac{{{a^2}}}{2}\Theta \left( a \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\Theta \left( a \right) \end{array}$$ La función de paso final es apropiada porque el si $a<0$ la respuesta es realmente cero. $\hspace{0pt}$

Answer 2

Dejemos que $I$ sea la integral definida por

$$I=\int_0^\infty \int_0^\infty \Theta(a-x-y)\,dy\,dx\tag1$$

Ejecución de la sustitución $u=a-x-y$ en $(1)$ revela

$$I=\int_0^\infty \int_{-\infty}^{a-x} \Theta(u)\,du\,dx\tag2$$

Cambiar el orden de integración en $(2)$ encontramos que

$$\begin{align} I&=\int_{-\infty}^a \int_0^{a-u} \Theta(u)\,dx\,du\\\\ &=\int_{-\infty}^a \Theta(u) \int_0^{a-u} (1)\,dx\,du\\\\ &=\int_{-\infty}^a \Theta(u) (a-u)\,du\\\\ &=\int_0^a (a-u)\,du\\\\ &=\frac12a^2 \end{align}$$