Definición positiva de la matriz $A+B$

Question

Déjalo, $A$ & $B$ son $n\times n$ matrices definidas positivas & $I$ sea el $n\times n$ matriz de identidad. Entonces, ¿cuáles de las siguientes son definidas positivas?

(a) $A+B$

(b) $ABA$

(c) $A^{2}+I$

(d) $AB$

Lo sé, $A^{2}+I$ es positiva definida, como si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $(1+\lambda^2)$ es un valor propio de $A^2+I$ .

Creo que (d) es cierto. Supongamos, $\lambda_{1}$ & $\lambda_{2}$ sean dos valores propios de $A_{2\times 2}$ matriz & $\beta_{1}$ , $\beta_{2}$ sean dos valores propios de $B_{2\times 2}$ matriz.

Ahora, $det(AB)=det(A)det(B)=\lambda_{1}.\lambda_{2}.\beta_{1}.\beta_{2}.$

Como, $\lambda_{1},\lambda_{2},\beta_{1},\beta_{2}$ son todos positivos por lo que los valores propios de $AB$ son todos positivos, por lo que $AB$ es positiva definida.

De la misma manera, $ABA$ pero no estoy seguro y no tengo ni idea de lo que es. $A+B$ .

Answer 1

Tiene algunas respuestas correctas, pero la mayoría de ellas parecen ser por razones equivocadas.

Una matriz es definida positiva si(f) es simétrico y tiene valores propios positivos. Equivalentemente, podemos afirmar que una matriz $A$ es positiva definida si(f) para cada vector $x$ tenemos $$ x^TAx > 0 $$ La respuesta a tu pregunta es que (a), (b), (c) son necesariamente definidas positivas mientras que (d) no lo es.

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Algunas correcciones a su razonamiento: para cualquier valor propio $\lambda$ de $A$ , $\lambda^2 + 1$ es un valor propio de $A^2 + I$ . Tenga en cuenta también que $A^2 + I$ es simétrica.

Tenga en cuenta que el hecho de que una matriz tenga un determinante positivo no significa que la matriz tenga valores propios positivos. Además, los valores propios de $A$ y $B$ no son generalmente los valores propios de $AB$ .

Una pista para (d): $AB$ no es necesariamente simétrica.